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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 26.04.2009 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | a) Bestimmen sie die Matrixdarstellung P des Operators, der jeden Vektor in die Ebene 2x+y-2z=0 projiziert. Zerlegen sie dazu die Einheitsvektoren i, j und k in Komponenten parallel und senkrecht zum Normalenvektor der Ebene.
Wie wirkt P auf diese Komponenten ?
b) Zeigen sie, dass die Zeilenvektoren der Matrix linear abhängig sind
c) Beweisen sie, dass P idempotent ist |
Hallo,
blicke die Aufgabe irgend wie nicht so richtig.
Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen ?
DANKE
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> a) Bestimmen sie die Matrixdarstellung P des Operators, der
> jeden Vektor in die Ebene 2x+y-2z=0 projiziert. Zerlegen
> sie dazu die Einheitsvektoren i, j und k in Komponenten
> parallel und senkrecht zum Normalenvektor der Ebene.
> Wie wirkt P auf diese Komponenten ?
>
> b) Zeigen sie, dass die Zeilenvektoren der Matrix linear
> abhängig sind
>
> c) Beweisen sie, dass P idempotent ist
> Hallo,
> blicke die Aufgabe irgend wie nicht so richtig.
Hallo,
diese Formulierung Deines Problems ist nicht sehr präzise.
Daß Du die Aufgabe nicht richtig blickst, kann nämlich Ursachen verschiedensten Schweregrades haben.
Man müßte schon wissen, ob das Problem eher darin liegt, daß Du nicht weißt, wie man darstellende Matrizen bekommt, oder ob Du den Normalenvektor einer Ebene nicht feststellen kannst.
> Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen ?
Du hast also eine Ebene vorgegeben, auf welche senkrecht projeziert wird.
(Mit der Vorstellung von Leinwand, Diaprojektor und Besenstil kommt man ganz gut hin.)
Es wird also senkrecht zur Ebene projeziert, welches ist somit die Projektionsrichtung?
Was weiter zu tun ist, ist in der Aufgabe eigentlich recht genau gesagt: Einheitsvektoren zerlegen.
das kannst Du so machen: nimm die Projektoionsrichtung und ergänze sie durch zwei dazu senkrechte vektoren zu einer Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Nun kannst Du jeden Einheitsvektor als Linearkombi dieser drei Vektoren schreiben, und Dir anschließend überlegen, welches das Bild dieser vektoren unter der vorgegebenen Orthogonalprojektion sit.
Diese Bilder kommen in die Spalten der Matrix.
Aufgabe b) sollte dann klar sein, und wenn Du weißt, was idempotent bedeutet, ist auch Aufgabe c) eine schnelle Sache.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Tobus |
Danke schonmal für die Antwort.
Ich habe mir mal meine Lösung durchgelesen die lautet:
1) [mm] n=\vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
2) normieren: [mm] n_{e}=\bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
3) Einheitsvektoren umwandeln: [mm] e_{i}=i-(i*n_{e})*n [/mm] wobei i die Richtung (x,y, oder z)ist
[mm] e{x}=\bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 4}
[/mm]
e{y}=..
e{z}=..
Jetzt hätte ich ja die Einheitsvektoren zerlegt.
Wie wirkt aber P auf diese Komponenten ?
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> Jetzt hätte ich ja die Einheitsvektoren zerlegt.
> Wie wirkt aber P auf diese Komponenten ?
Denk an den Projektor, die Leinwand, den Besenstil - oder an sonstige Schattenspiele.
der Teil des Vektors, der in Projektionsrichtung ist, verschwindet, der Teil der Parallel zur Projektionsebene ist, wird auf sich selbst abgebildet.
Gruß v. Angela
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