Matrix untersuchen, ob in Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 18.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
| Aufgabe | F: M(2x2) -> M(2x2) eine lineare Abbildung mit
[mm] F(\pmat{ a & b \\ c & d })=\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }
[/mm]
Ist folgende Matrix ein Element von Kern(F)?
[mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] |
Hi,
ich weiß nicht, ob diese Aufgabe korrekt gelöst wurde.
Habe das so gemacht:
[mm] F(\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 })=\pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 }\not=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also kein Kern.
Da a=0, b=4, c=2, d=0 und laut Vorschrift a und d = 0, b und c = b ist, bekomme ich die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 }\
[/mm]
Dass sie im Kern(F) liegt, müsste sie die Nullmatrix bilden, was nicht der Fall ist.
Anders sieht es bei der zweiten Teilaufgabe aus:
[mm] F(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also Kern.
Stimmt meine Rechnung so?
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> F: M(2x2) -> M(2x2) eine lineare Abbildung mit
> [mm]F(\pmat{ a & b \\ c & d })=\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm]
>
> Ist folgende Matrix ein Element von Kern(F)?
> [mm]\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }[/mm]
>
> und
> [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Habe das so gemacht:
> [mm]F(\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 })=\pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 }\not=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> also kein Kern.
Also ist [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 } [/mm] nicht im Kern von F.
> Anders sieht es bei der zweiten Teilaufgabe aus:
> [mm]F(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> also
ist [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] im
> Kern.
von F.
>
> Stimmt meine Rechnung so?
Ja.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Di 18.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
Alles klar,
vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> F: M(2x2) -> M(2x2) eine lineare Abbildung mit
> [mm]F(\pmat{ a & b \\ c & d })=\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm]
>
> Ist folgende Matrix ein Element von Kern(F)?
es ist
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d } \in \text{Kern}(F)$
[/mm]
[mm] $\iff$ $F(\pmat{ a & b \\ c & d })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] mit der Matrix [mm] $\pmat{ a & \red{b} \\ c & d }$ [/mm] folgt [mm] $\pmat{0 & b \\ b & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] in [mm] $\pmat{ a & \red{b} \\ c & d }$ [/mm] gilt [mm] $b=0\,.$
[/mm]
Da braucht man dann nichts mehr rechnen, sondern einfach nur gucken:
Etwa in
[mm] $\pmat{ 0 & \red{4} \\ 2 & 0 }$
[/mm]
gilt [mm] $\red{\,b\,}=\red{\,4\,} \not=0$ [/mm] ...
P.S. Die Linearität von [mm] $F\,$ [/mm] wird oben einfach behauptet. Ich würde das
nicht einfach so hinnehmen und sie auch nachrechnen (es kann durchaus
sein, dass der Aufgabensteller das erwartet oder wenigstens einen kleinen
Satz sehen will, warum die Linearität von [mm] $F\,$ [/mm] klar ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 18.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
hm könntest du mir einen Ansatz geben, wie dies zu machen wäre?
Vielen Dank
und schönen Abend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> hm könntest du mir einen Ansatz geben, wie dies zu machen
> wäre?
was meinst Du? Die Linearität? Welche Bedingungen hat eine Funktion/
Abbildung denn zu erfüllen, damit sie linear genannt werden darf?
Für zwei Matrizen
[mm] $A:=\pmat{a_{1,1} &a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2}}$
[/mm]
und
[mm] $B:=\pmat{b_{1,1} &b_{1,2} \\b_{2,1} & b_{2,2}}$
[/mm]
muss also
$F(A+B)$
mit .....was?..... übereinstimmen?
Was ist zudem noch zu prüfen?
Nebenbei: Was bedeutet bei Euch genau $M(2 [mm] \times [/mm] 2)$? Das ist die Menge aller
$2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen über..... ??? Das solltest Du mal dazuschreiben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 18.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
laut Skriptum muss gelten:
1)F(A+B)=F(A)+F(B)
2)und [mm] F(k*x)\hat=k*F(x)
[/mm]
das habe ich nun so gemacht:
[mm] 1)F(\pmat{ x & y \\ z & u })+F(\pmat{v & w \\ t & s })=\pmat{ 0 & y \\ y & 0 }+\pmat{ 0 & w \\ w & 0 }=\pmat{ 0 & y+w \\ y+w & 0 }
[/mm]
[mm] F(\pmat{ x+v & y+w \\ z+t & u+s })=\pmat{ 0 & y+w \\ w+y & 0 }
[/mm]
[mm] 2)F(\pmat{ k*x & k*y \\ k*z & k*u }=\pmat{ 0 & k*y \\ k*y & 0 }
[/mm]
[mm] k*F(\pmat{ x & y \\ z & u })=k*\pmat{ x & y \\ z & u }=\pmat{ 0 & k*y \\ k*y & 0 }
[/mm]
Da 1 und 2 gelten -> linear!
Noch zu bestimmen habe ich ob die Matrizen Element von Bild(F) sind.
Das habe ich für das erste Beispiel so gemacht:
[mm] \pmat{ 0 & b \\ b & 0 }\hat=\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 } [/mm] => falsche Aussage, die Matrix liegt nicht im Bild von F.
und als letztes soll ich den Kern(F) und BIld(F) jeweils durch die Angabe einer Basis beschreiben. Nur da weiß ich nicht, wie ich das lösen soll
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hi,
>
> laut Skriptum muss gelten:
> 1)F(A+B)=F(A)+F(B)
> 2)und [mm]F(k*x)\hat=k*F(x)[/mm]
>
> das habe ich nun so gemacht:
> [mm]1)F(\pmat{ x & y \\ z & u })+F(\pmat{v & w \\ t & s })=\pmat{ 0 & y \\ y & 0 }+\pmat{ 0 & w \\ w & 0 }=\pmat{ 0 & y+w \\ y+w & 0 }[/mm]
>
> [mm]F(\pmat{ x+v & y+w \\ z+t & u+s })=(\*)[/mm]
Wichtig ist, zu beachten, dass
[mm] $\pmat{ x & y \\ z & u }+\pmat{v & w \\ t & s }=\pmat{ x+v & y+w \\ z+t & u+s }$
[/mm]
> [mm](\*)=\pmat{ 0 & y+w \\ w+y & 0 }[/mm]
>
> [mm]2)F(\pmat{ k*x & k*y \\ k*z & k*u }=\pmat{ 0 & k*y \\ k*y & 0 }[/mm]
Analog zu oben: [mm] $k*\pmat{ x & y \\ z & u }=...$
[/mm]
> [mm]k*F(\pmat{ x & y \\ z & u })=k*\pmat{ x & y \\ z & u }=\pmat{ 0 & k*y \\ k*y & 0 }[/mm]
>
> Da 1 und 2 gelten -> linear!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Noch zu bestimmen habe ich ob die Matrizen Element von
> Bild(F) sind.
?? Ist das eine weitere Aufgabe?
> Das habe ich für das erste Beispiel so gemacht:
> [mm]\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }\hat=\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }[/mm] =>
> falsche Aussage, die Matrix liegt nicht im Bild von F.
Was heißt denn "falsche Aussage"? Die Frage ist doch dann erstmal, ob
es eine Matrix [mm] $\pmat{a & b \\ c & d}$ [/mm] mit [mm] $F(\pmat{a & b \\ c & d})=\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }$
[/mm]
gibt.
Wenn es eine solche gäbe, folgte
[mm] $\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }=\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }$
[/mm]
und damit der Widerspruch, dass zeitgleich [mm] $b=4\,$ [/mm] und [mm] $b=2\,$ [/mm] sein müsste...
Also kann es sie nicht geben!
Grobgesagt ist auch diese Aufgabe einfach, denn eine Matrix
[mm] $\pmat{r & s \\ t & u}$
[/mm]
wird genau dann im Bild von [mm] $F\,$ [/mm] liegen, wenn [mm] $r=u=0\,$ [/mm] und [mm] $s=t\,$ [/mm] gelten.... (Beweis?)
Bei [mm] $\pmat{r & s \\ t & u}:=\pmat{ 0 & 4 \\ 2 & 0 }$ [/mm] ist aber $s=4 [mm] \not=2=t$.....
[/mm]
> und als letztes soll ich den Kern(F) und BIld(F) jeweils
> durch die Angabe einer Basis beschreiben. Nur da weiß ich
> nicht, wie ich das lösen soll
Ich behaupte, dass genau jede Matrix des Kerns sich als Linearkombination
der folgenden drei Matrizen schreiben läßt:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\,.$
[/mm]
Diese sind auch noch linear unabhängig. Beweise das bitte und sage, was
Du daraus schließt!
(Damit Du nicht ganz im Dunkeln stehst, das kann man so rechnen, wie ich
es hier andeute:
[mm] $\text{Kern}(F)=\left\{\pmat{a & 0 \\ c & d} \in M(2 \times 2)\right\}=\left\{a*\pmat{1 & 0\\ 0 & 0}+\pmat{0 & 0 \\ c & d} \mid a \in M \wedge \pmat{0 & 0 \\ c & d} \in M(2 \times 2)\right\}=...$)
[/mm]
Für das Bild von F gilt
[mm] $\text{Bild}(F)=\left\{F(\pmat{a & b \\ c &d}) \mid \pmat{a & b \\ c & d} \in M(2 \times 2)\right\}=\left\{\pmat{0 & b \\ b & 0} \mid \pmat{a & b \\ c & d} \in M(2 \times 2)\right\}=\left\{b \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0} \mid b \in M\right\}\,,$
[/mm]
was immer auch [mm] $M\,$ [/mm] ist - Du scheinst das ja nicht sagen zu wollen.
Du siehst hier am Ende offensichtlich eine Möglichkeit, einen Basisvektor
für [mm] $\text{Bild}(F)$ [/mm] zu wählen - und der bildet dann auch alleine schon eine
Basis. Welchen? (Wenn wir einen anderen Basisvektor für [mm] $\text{Bild}(F)$ [/mm] wählen würden:
Welchen Zusammenhang gäbe es dann?)
P.S. Wenn man eine Basis für [mm] $\text{Kern}(F)$ [/mm] hat, kann man mit dem ![[]](/images/popup.gif) Dimensionssatz
für lineare Abbildungen auch direkt schlussfolgern, welche Dimension dann
[mm] $\text{Bild}(F)$ [/mm] haben wird - unter der Voraussetzung, dass man die Dimension
des Definitionsbereichs ermitteln kann!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mi 19.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
ok, dann ist Bild und Kern klar. Danke dafür.
> was immer auch [mm]M\,[/mm] ist - Du scheinst das ja nicht sagen zu
> wollen.
Sorry, das hatte ich übersehen. Leider ist die Angabe im Startpost vollständig, deshalb weiß ich auch nicht, was M ist.
Nun zur Basis des Kernes von
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }
[/mm]
Als Basis habe ich folgende 4 Matrizen gewählt:
[mm] A_{1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } A_{2}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } A_{3}=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } A_{4}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
nun:
[mm] k_{1}*A_{1}+k_{2}*A_{2}+k_{2}*A_{3}+k_{1}*A_{4}=\pmat{ k_{1} & k_{2} \\ k_{2} & k_{1} } [/mm]
[mm] k_{1}= [/mm] 0 [mm] \wedge k_{2}=3
[/mm]
[mm] A_{1}....A_{4} [/mm] bilden eine Basis von Kern(F)
Basis des Kernes von
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] exisitiert nicht, da die Matrix Element von Kern(F) ist.
Für das Bild müsste es gleich gehen.
Stimmen meine Überlegungen?
Vielen Dank für deine Hilfestellung!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> ok, dann ist Bild und Kern klar. Danke dafür.
>
>
> > was immer auch [mm]M\,[/mm] ist - Du scheinst das ja nicht sagen zu
> > wollen.
>
> Sorry, das hatte ich übersehen. Leider ist die Angabe im
> Startpost vollständig, deshalb weiß ich auch nicht, was M
> ist.
komisch.... Dann wälze mal die Vorlesungsunterlagen!
> Nun zur Basis des Kernes von
> [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Es ging doch um eine Basis von [mm] Kern$(F)\,$! [/mm] Ich weiß nicht, wie Du nun zu der
durch die obige Matrix gegebene lineare Abbildung (ich nehmen einfach
mal [mm] $M=\IR$)
[/mm]
[mm] $\IR^2 \ni \vektor{x\\y} \longmapsto \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }*\vektor{x\\y} \in \IR^2$
[/mm]
kommst; also wieso die nun zu untersuchen sein soll....
> Als Basis habe ich folgende 4
> Matrizen gewählt:
> [mm]A_{1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } A_{2}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } A_{3}=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } A_{4}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Diese bilden eine Basis von $M(2 [mm] \times 2)\,.$ [/mm] Ich hatte Dir doch schon eine Basis
von [mm] $\text{Kern}(F)$ [/mm] hingeschrieben: Als Familie geschrieben
[mm] $(A_1,A_3,A_4)$
[/mm]
> nun:
> [mm]k_{1}*A_{1}+k_{2}*A_{2}+k_{2}*A_{3}+k_{1}*A_{4}=\pmat{ k_{1} & k_{2} \\ k_{2} & k_{1} }[/mm]
> [mm]k_{1}=[/mm] 0 [mm]\wedge k_{2}=3[/mm]
> [mm]A_{1}....A_{4}[/mm] bilden eine Basis
> von Kern(F)
Nein. Du rechnest hier auch nur *irgendeine* Erzeugendensystem-Eigenschaft
nach. Abgesehen davon, dass ich nicht weiß, was das Ziel der Rechnung
da überhaupt ist: Ein Erzeugendensystem bildet i.a. noch lange keine
Basis. Es fehlt die *Minimalitätseigenschaft*.
So ist etwa die Famile [mm] $((1,1),(1,0),(1,3),(0,1))\,$ [/mm] ein EZS des [mm] $\IR^2=\{(a,b) \mid a,b \in \IR\}\,,$
[/mm]
aber keine Basis. Durchaus wäre aber [mm] $((2,0),(\pi,5))$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
> Basis des Kernes von
> [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm] exisitiert nicht, da die Matrix
> Element von Kern(F) ist.
>
> Für das Bild müsste es gleich gehen.
>
> Stimmen meine Überlegungen?
Nein, ich blicke da auch nicht durch, was Du erreichen willst:
Mögliche Angaben für
eine Basis des Bildes von [mm] $F\,$: $(\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0})$
[/mm]
eine Basis des Kerns von [mm] $F\,$: $(A_1,A_3,A_4)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 19.11.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
hm ok ich habe da wohl einiges verwechselt.
Ok, nun nochmals
-Beschreibe Kern(F) durch die Angabe einer Basis
Kern einer Basis erhalte ich, wenn ich die Matrize 0 setze:
[mm] F(\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 0 & b \\ b & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
=> b=0; a,c,d [mm] \in \IR
[/mm]
Nun die Basis:
[mm] \pmat{ a & 0 \\ c & d }=a*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+c*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+d\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
d.h. die Basis von Kern(F) ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
-Beschreibe Bild duch die Angabe einer Basis:
das ist doch einfach:
[mm] b*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] weil das wieder [mm] \pmat{ 0 & b \\ b & 0 }
[/mm]
ergeben muss, d.h. die Basis des Bildes(F):
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Vielen Dank für deine Geduld!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
> hm ok ich habe da wohl einiges verwechselt.
>
> Ok, nun nochmals
> -Beschreibe Kern(F) durch die Angabe einer Basis
>
> Kern einer Basis erhalte ich, wenn ich die Matrize 0
> setze:
> [mm]F(\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> => b=0; a,c,d [mm]\in \IR[/mm]
> Nun die Basis:
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Basen sind NICHT eindeutig. Also rede besser von einer oder meinetwegen
von deiner (Wahl) für eine Basis!
> [mm]\pmat{ a & 0 \\ c & d }=a*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+c*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+d\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> d.h. die Basis von Kern(F) ist:
S.o.!
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Du hättest übrigens durchaus auch eine andere angeben können. Etwa die Familie
[mm] $(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 })\,.$
[/mm]
Um das zu beweisen, würde es reichen, nachzurechnen, dass diese linear
unabhängig sind (denn dass sie im Kern von F liegen, ist ersichtlich - und wir
haben durch Deine Angabe einer Basis oben ja insbesondere gesehen, dass
der Kern die Dimension 3 haben muss).
> -Beschreibe Bild duch die Angabe einer Basis:
> das ist doch einfach:
> [mm]b*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] weil das wieder [mm]\pmat{ 0 & b \\ b & 0 }[/mm]
>
> ergeben muss, d.h. die Basis des Bildes(F):
S.o.!
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Bis darauf, dass Du immer von DER Basis sprichst (es gibt zwar durchaus
gewisse *ausgezeichnete*); ich hoffe, dass das STOP-Zeichen deutlich genug
war, um zu verinnerlichen, dass Du da mit der Sprache aufpassen solltest
(ebenso sollte man i.a. von EINER Stammfunktion reden und nicht von DER):
> Vielen Dank für deine Geduld!
Gerne.
Gruß,
Marcel
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