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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}, [/mm] B [mm] \in \mathbb{R}^{n \times l} [/mm] $ gilt:
$ [mm] \|A*B\|_p \le \|A\|_p [/mm] \ [mm] \|B\|_p [/mm] \ $ |
Dafür besitze ich eine Lösung aus der VL und habe einige Fragen:
Die Beziehung
[mm] $\|A*B\|_p [/mm] = [mm] max_{\|x\|_p =1} \|A*Bx \|_p [/mm] $
verstehe ich nicht ganz.
Wieso setzt man hier
[mm] $\|x\|_p [/mm] =1$ ?
und wie kann ich mir so was anschaulich vorstellen?
Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:18 Di 16.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für [mm]A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times l}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\|A*B\|_p \le \|A\|_p \ \|B\|_p \[/mm]
> Dafür besitze ich eine
> Lösung aus der VL und habe einige Fragen:
> Die Beziehung
> [mm]\|A*B\|_p = max_{\|x\|_p =1} \|A*Bx \|_p[/mm]
> verstehe ich
> nicht ganz.
> Wieso setzt man hier
> [mm]\|x\|_p =1[/mm] ?
> und wie kann ich mir so was anschaulich vorstellen?
>
>
> Danke im voraus!
Für $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ [/mm] setzt man
$ [mm] \|A\|_p [/mm] = [mm] max_{\|x\|_p =1} \|Ax \|_p [/mm] $
Das ist die von der [mm] ||*||_p [/mm] - Norm des [mm] \IR^n [/mm] induziete Matrixnorm, eine Definition !
Setzt man [mm] $K:=\{x \in \IR^n:||x||_p=1\}$, [/mm] so ist k kompakt. Def. man f:K [mm] \to \IR [/mm] durch
$ f(x):= [mm] \|Ax \|_p$,
[/mm]
so ist f auf K stetig. Es ex. also max f(K). Nach Def. ist
$ [mm] \|A\|_p =\max [/mm] f(K)$
FRED
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