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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix normierter Eigenvektor
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Matrix normierter Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Sa 21.03.2020
Autor: makke306

Aufgabe
Die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\} [/mm] hat den Eigenwert [mm] \lambda=1 [/mm] mit den zugehörigen Eigenvektor [mm] e1=\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \pmat{ 3 \\ 0 \\ -4 \\}. [/mm]
Berechnen Sie die restlichen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren.


Hey, ich bräuchte einen kurzen Denkanstoß wie ich die Aufgabe lösen kann.

Ich habe für [mm] \lambda2=-4 [/mm] und für [mm] \lambda3=6 [/mm] herausbekommen.

Muss ich jetzt aber bei der Matrix jeweils [mm] \lambda1, \lambda2, \lambda3 [/mm] einsetzen und die Matrix nach Gauß lösen? Bzw. Für was brauch ich den Eigenvektor e1?

        
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Matrix normierter Eigenvektor: Glsystem lösen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 21.03.2020
Autor: Infinit

Hallo makke306,
ich nehme mal an, dass man Dir die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren etwas einfacher machen wollte.
Du hast ja bereits die weiteren Eigenwerte ausgerechnet. Für [mm] \lambda_1 [/mm] kennst Du sogar schon den Eigenvektor.
Für jeden der beiden restlichen Eigenwerte bestimmt Du den dazugehörigen Eigenvektor, indem Du von den Werten auf der Hauptdiagonen den jeweiligen Eigenwert abziehst und das daraus entstehende Gleichungssystem zu Null setzt, um den dazugehörigen Eigenvektor zu berechnen.
Das sieht dann für [mm] \lambda_2 [/mm] so aus:
[mm] \pmat{ a_{11}-\lambda_2 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda_2 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda_2 }\cdot \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} = 0 [/mm]
Das nun nach Gauß lösen.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit


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Matrix normierter Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Sa 21.03.2020
Autor: makke306

Ok für den Vektor [mm] e_2 [/mm] habe ich   [mm] \begin{pmatrix} \bruch{4}{3} \\ \bruch{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
und für e3 habe ich  [mm] \begin{pmatrix} \bruch{4}{3} \\ -\bruch{5}{3} \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

Könntest du mir sagen ob das stimmt? Bzw. muss ich jetzt den Vektor noch normieren?

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Matrix normierter Eigenvektor: Quercheck
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 So 22.03.2020
Autor: Infinit

Hallo Makke306,
ich muss gestehen, dass ich gestern keinen Quercheck Deiner Lösung gemacht hatte, wunderte mich jetzt aber, dass in keinem Deiner Eigenwerte der Wert a auftaucht. Also habe ich mal nach alter Tradition die Eigenwerte Deiner Matrix berechnet und da komme ich auf die drei Werte 4, 2, und a. Die Determinante für jeden dieser drei werte ist 0, wenn Du sie mal berechnest, sie sollten also stimmen.
Wie bist Du denn auf Deine restlichen Eigenwerte gekommen?
Viele Grüße,
Infinit

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Matrix normierter Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:51 So 22.03.2020
Autor: makke306

Ich habe gerade gesehen dass ich nicht die Richtige Matrix im ersten Post hingeschrieben habe. Jetzt passt es.

Nur müsste ich noch aufzeigen dass alle Eigenvektoren orthogonal sind. Wie mach ich das? Danke

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Matrix normierter Eigenvektor: Skalarprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 So 22.03.2020
Autor: Infinit

Aaah, dann ist die Sache klar.
Zwei Vektoren sind dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 ergibt. Berechne also einfach das Skalarprodukt von e1 * e2, e1 * e3 und e2 * e3.
Viele Grüße,
Infinit

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Matrix normierter Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Mo 23.03.2020
Autor: fred97


> Ich habe gerade gesehen dass ich nicht die Richtige Matrix
> im ersten Post hingeschrieben habe. Jetzt passt es.
>  
> Nur müsste ich noch aufzeigen dass alle Eigenvektoren
> orthogonal sind. Wie mach ich das? Danke

Du kannst das so machen, wie infinit es gesagt hat. Du kannst auch folgenden Satz verwenden, den Ihr sicher hattet:

"Ist A symmetrisch, so sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal."

Deine "richtige Matrix" is symmetrisch.


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