Matrix nicht invertierbar < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Do 25.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Finden Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] so, dass die Matrix nicht invertierbar ist:
[mm] \begin{pmatrix}
x & 1 & 1 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
1 & x & 1 & 1 \\
0 & 1 & x & x \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
hierbei habe nun keine weitere Vereinfachung gefunden und nach der ersten Spalte entwickelt:
[mm] \begin{vmatrix}
x & 1 & 1 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
1 & x & 1 & 1 \\
0 & 1 & x & x \\
\end{vmatrix} [/mm] = x [mm] \cdot{} \begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
x & 1 & 1 \\
1 & x & x \\
\end{vmatrix} [/mm] + [mm] 1\cdot{} \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
x & 1 & 1 \\
1 & x & x \\
\end{vmatrix} [/mm] = x [mm] \cdot{} \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
x & 1 & 1 \\
1 & x & x \\
\end{vmatrix} [/mm] + [mm] 1\cdot{} \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
x & 1-x & 1 \\
1 & x-1 & x \\
\end{vmatrix} [/mm] = x [mm] \cdot{} [/mm] 0 + [mm] \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
x & 1-x & 1 \\
1 & x-1 & x \\
\end{vmatrix}
[/mm]
Somit bleibt diese Matrix übrig, nach der ersten Zeile entwickelt:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
x & 1-x & 1 \\
1 & x-1 & x \\
\end{vmatrix} [/mm] = 1 [mm] \cdot{} \begin{vmatrix}
1-x & 1 \\
x-1 & x \\
\end{vmatrix} [/mm] = (1-x)x-1(x-1) = x-x²-x+1 = -x²+1
Damit nun die Matrix nicht invertierbar ist, muss die Determinate gleich Null sein, also
-x²+1 = 0 -> x = [mm] \pm [/mm] 1
Die Matrix ist für x = 1 oder x = -1 nicht invertierbar.
Sind diese alle möglichen Lösungen oder gibt es noch weitere Werte von x [mm] \in \IR, [/mm] so dass die Matrix nicht invertierbar?
Grüße
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 25.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast alles richtig gemacht
FRED
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