Matrix mit detA=1 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben seien linear unabhägige Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \IR^{5}. [/mm] Zeigen Sie, dass es mindestens eine Matrix A [mm] \in M_{5}(\IR) [/mm] gibt, die [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] als ihre ersten drei Zeilen hat und außerdem det(A) = 1 erfüllt. |
Die Matrix sieht also meiner Meinung nach so aus:
A= [mm] \pmat{ v_{11} & v_{12} & v_{13} & v_{14} & v_{15} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} & v_{24} & v_{25} \\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & v_{34} & v_{35} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & a_{5} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} & b_{5} }
[/mm]
[mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] sind beliebige Vektoren, also muss ich a und b so finden dass immer det(A)=1 gilt.
Mein Problem ist dass ich dazu keine (funktionierende) Idee hab. Könnt ihr mir ein paar Anregungen geben?
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Man soll ja eigentlich die Lösung nicht sofort verraten. Aber bei so einer Aufgabe ist es schwierig, lediglich einen Tip zu geben, ohne zahlreiche Nachfragen beantworten zu müssen. Deshalb erlaube ich mir, die Lösung gleich mitzuteilen. Vielleicht führst du das ganze Prozedere einmal an einem konkreten Beispiel durch:
[mm]v_1 = (3,-2,1,0,1) \, , \ \ v_2 = (0,3,0,1,-2) \, , \ \ v_3 = (-6,1,-2,-1,1)[/mm] oder anderswie
Die 3×5-Matrix aus den drei gegebenen Zeilen hat nach Voraussetzung Maximalrang 3. Jetzt vertausche man ihre Spalten so, daß ihr linker 3×3-Bestandteil den Rang 3 hat, mit anderen Worten eine invertierbare Matrix mit einer Determinante [mm]\delta \neq 0[/mm] bildet (das geht wegen Spaltenrang=Zeilenrang). Unterhalb dieser 3×3-Matrix hänge man eine 2×3-Matrix aus lauter Nullen an. Und rechts neben dieser bringe man die Matrix
[mm]\begin{pmatrix} \delta^{-1} & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}[/mm]
an. Man wähle das Pluszeichen, wenn es am Anfang geradzahlige viele, und das Minuszeichen, wenn es ungeradzahlige viele Spaltenvertauschungen waren. Die so entstandene 5×5-Matrix hat jetzt nach einer bekannten Regel die Determinante [mm]\pm 1[/mm]. Jetzt mache man die anfänglichen Spaltenvertauschungen rückgängig. Dann hat man die ersten drei Zeilen wieder in ihren Urzustand zurückversetzt, und die gesamte Matrix hat die Determinante 1.
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erst einmal danke für deine ausführliche erklärung.
ich bin das jetzt mal durchgegangen und habe auch noch ein anderes Beispiel vür die 3 Vektoren genommen und nachgesehen ob's klappt - hat's nur leider auch nach mehrmaligen nach rechenfehlern schauen nicht.
das zum einen, und zum anderen bin ich mir nicht sicher ob diese Lösung mit der inversen Determinante so in der Art "die Beste" ist (mir ist schon klar dass ich vermutlich irgendwo mal die Determinante brauche, aber es handelt sich ja hier um die der 3x3 Matrize - wenn ich das richtig verstanden habe)
aber wie gesagt kommt die rechnung bei mir an sich nicht hin (ich hab detA=0) rausbekommen.
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[mm]\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ -6 & 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
Die erste und dritte Spalte sind linear abhängig. Tausch von Spalte 1 und Spalte 5:
[mm]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 3 \\ -2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & -1 & -6 \end{pmatrix}[/mm]
Die ersten drei Spalten sind jetzt linear unabhängig. Determinante der 3×3-Matrix ist [mm]-3[/mm].
Nach dem beschriebenen Verfahren wird ergänzt:
[mm]\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 3 \\ -2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
Diese Matrix hat die Determinante [mm]-1[/mm].
Rücktausch von Spalte 1 und Spalte 5:
[mm]\begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 & -2 \\ -6 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
Diese Matrix hat die Determinante [mm]1[/mm].
Das funktioniert also bestens.
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das system war mir klar, aus irgendeinem grund war bei mir die -1 woanders.
auf jedenfall hat's jetzt mit meinem Beispiel geklappt.
wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist die allgemeine Formulierung folgende:
A= [mm] \pmat{ v_{11} & v_{12} & v_{13} & v_{14} & v_{15} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} & v_{24} & v_{25} \\ v_{31} & v_{32} & v_{33} & v_{34} & v_{35} \\ 0 & 0 & 0 & \delta^{-1} & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
mit [mm] \delta [/mm] = det [mm] \pmat{ v_{15} & v_{12} & v_{13} \\ v_{25} & v_{22} & v_{23} \\ v_{35} & v_{32} & v_{33} }
[/mm]
hab ich das jetzt richitg aufgefasst?
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Bei diesem Beispiel war das so. Bei einem anderen kann das wieder anders sein. Lies dir noch einmal genau meinen ersten Beitrag durch.
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