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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix mit Parameter b gegeben
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Matrix mit Parameter b gegeben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:51 Mi 26.12.2012
Autor: mathez2

Aufgabe
Man berechne die Determinante von A = 1203
                                      1030
                                      0b06
                                      2103

Für welchen Wert von b besitzt die Matrix A keine Inverse? (Man beantworte diese Frage, ohne zu versuchen,
die Inverse zu berechnen.)

Hi Leute. Zu meiner Aufgabe habe ich eine Frage.

Vorab: Die Determinante nach den Laplachen Entwicklungssatz habe ich ausgerechnet. Der Schreibaufwand ist aber hoch.Gibt es einen kürzeren weg.

Mein Hauptanliegen liegt jedoch bei der Bestimmung des Parameters b sodass keine Inverse besteht.

Ich habe mir überlegt, wenn keine Inverse besteht, dann ist die Determinante Null, d.h. b muss so bestimmt werden, dass die Determinante null ist.

und nun ist mein problem. wie berechne ich b so, dass Determinante null ist.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Matrix mit Parameter b gegeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Do 27.12.2012
Autor: barsch

Hallo, [willkommenmr]


> Man berechne die Determinante von A = 1203
>                                        1030
>                                        0b06
>                                        2103

Versuche dich gleich im Umgang mit dem Formeleditor:

[mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & b & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 0 & 3 } [/mm]

> Für welchen Wert von b besitzt die Matrix A keine Inverse?
> (Man beantworte diese Frage, ohne zu versuchen,
>  die Inverse zu berechnen.)
>  Hi Leute. Zu meiner Aufgabe habe ich eine Frage.
>  
> Vorab: Die Determinante nach den Laplachen Entwicklungssatz
> habe ich ausgerechnet. Der Schreibaufwand ist aber
> hoch.Gibt es einen kürzeren weg.

Die Matrix enthält viele Nulleinträge - mit etwas Geschick (Entwicklung nach einer Zeile/Spalte mit vielen Nulleinträgen) ist das gar nicht mehr so übel.

> Mein Hauptanliegen liegt jedoch bei der Bestimmung des
> Parameters b sodass keine Inverse besteht.
>  
> Ich habe mir überlegt, wenn keine Inverse besteht, dann
> ist die Determinante Null, d.h. b muss so bestimmt werden,
> dass die Determinante null ist.

Korrekt!

> und nun ist mein problem. wie berechne ich b so, dass
> Determinante null ist.

Wenn du die Determinante bestimmt hast, hast du am Ende einen Ausdruck in der Form

[mm]det(A)=...=a\cdot{b}+y[/mm]

Dann setzt du [mm]det(A)=a\cdot{b}+y=0[/mm] und stellst nach b um.

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Beste Grüße
barsch


Bezug
        
Bezug
Matrix mit Parameter b gegeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Do 27.12.2012
Autor: fred97

1. Mach Dir klar, dass es genau ein b gibt, sodass A nicht invertierbar ist.

2. Addiere das (-1)-fache der ersten Zeile auf die 4. Zeile. Dann solltest Du sehen, dass das gesuchte b=-6 ist.

FRED

Bezug
                
Bezug
Matrix mit Parameter b gegeben: Fred97
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Do 27.12.2012
Autor: mathez2

Aufgabe
5. Man berechne die Determinante von
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & b & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 0 & 3 } [/mm]

Für welchen Wert von b besitzt die Matrix A keine Inverse? (Man beantworte diese Frage, ohne zu versuchen,
die Inverse zu berechnen.)

Hallo Fred97,

in der Lösung habe ich b = 6 raus.

Ich habe das so gerechnet.

gegeben ist die Matrix A mit

A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & b & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 0 & 3 } [/mm]


Entschieden habe ich mich für die 3. Spalte, da hier mehr Nullen sind
Nach dieser Spalte habe ich entwickelt.

Das Ergebnis ist nun folgendes.

det (A) = -3 [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & b & 6 \\ 2 & 1 & 3 \\ } [/mm]

det (A) = [mm] \pmat{ -3 & -6 & -9 \\ 0 & -3b & -18 \\ -6 & -3 & -9 \\ } [/mm]

Dann habe ich die Erste und Zweite Spalte nochmals hingeschrieben
und dann nach der Regel von Sarrus, Hauptdiagonale- Nebendiagonale

dass ergibt dann letztenendes
81b-486

dann null setzen den ausdruckj

81b-486=0
b = 6


Ist der Weg richtig??

Bezug
                        
Bezug
Matrix mit Parameter b gegeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Do 27.12.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast das korrekte Ergebnis raus, für b=6 ist die Matrix nicht invertierbar, die Determinante ist gleich Null, da hat fred97 sich vorhin verrechnet, Steffi

Bezug
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