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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Matrix invertieren 3×3 5×5
Matrix invertieren 3×3 5×5 < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix invertieren 3×3 5×5: Matrix invertieren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Di 23.02.2021
Autor: Nicknamenickname

Aufgabe
Berechnen sie jeweils die inverse matrix

Ich muss einige Matrizen invertieren und verzweifle inzwischen. Immer stoße ich an einen Punkt andem ich nicht länger zahlen eliminieren kann ohne neue zu erzeugen.

A)

1 0 1

0 2 2

8 4 8

B)

4 -3 0

0 4  -4

4 4  -2

C)

5 -2 0 3

5 2 0 -1

0 1 1 0

0 -1 -1 2


Ich habe über die letzten stunden an allen Aufgaben mal rumgeschraubt und an allen an irgendeinem punkt gescheitert. Bald ist abgabe und keine Aufgabe ist gelöst. Bitte mit Idiotenerklärung


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
https://www.mathefragen.de/frage/q/3a264005c4/matrix-invertieren-33/

        
Bezug
Matrix invertieren 3×3 5×5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Mi 24.02.2021
Autor: Fulla

Hallo Nicknamenickname,

ohne einen Lösungsversuch mit einem Hinweis, wo du stecken bleibst, kann man dir schlecht helfen.

In dem anderen Forum hast du noch Folgendes ergänzt:

Zu a
1 0 1  1 0 0
0 2 2  0 1 0
8 4 8  0 0 1

1 0 1  1 0 0
0 2 2  0 1 0
0 4 0  -8 0 0

Hier ist schon der erste Fehler: Du solltest $1-8*0=1$ rechnen, die 1 bleibt also stehen.

1 0 1  1 0 0 
0 1 2  2 1 0
0 4 0 -8 -2 0

Die 0 ist ein Folgefehler (und damit die 0 in der Zeile darüber auch). Aber wo kommt die -2 her? Du veränderst hier doch die zweite Zeile, nicht die dritte.

1 0 1  1 0 0
0 1 2  2 1 0
0 0 -8 -16 -10 0

Abgesehen davon, dass die -2 von oben schon nicht gestimmt hat, ist [mm] $-2-4*1=-6\neq-10$. [/mm]

1 0 0  -1 -1.25 0
0 1 2   2 1 0
0 0 -8  -16 -10 0

Mal angenommen, die Zahlen bis hier hin wären richtig... Warum wendest du nicht den letzten Schritt (die rechte 1 in der ersten Zeile mit Hilfe der dritten Zeile eliminieren) nicht auch auf die zweite Zeile an? "Zeile 2 + 1/4*Zeile 3" lässt die 2 verschwinden und danach müsstest du nur noch die dritte Zeile normieren.
Wie gesagt, falls diese Zahlen stimmen würden.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Matrix invertieren 3×3 5×5: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mi 24.02.2021
Autor: HJKweseleit


> Berechnen sie jeweils die inverse matrix
>  Ich muss einige Matrizen invertieren und verzweifle
> inzwischen. Immer stoße ich an einen Punkt andem ich nicht
> länger zahlen eliminieren kann ohne neue zu erzeugen.

Genau das passiert nicht, wenn du die Logik des Gauss-Verfahrens verstanden hast und richtig anwendest! Rechne bitte alles nach - nicht nur draufgucken, sonst lernst du es nicht.

[mm] \green{} [/mm]

>
> A)

1 0 1     1  0  0     I
  
0 2 2     0  1  0     II
  
8 4 8     0  0  1     III  

Zunächst sorgst du dafür, dass in der ersten Spalte Überall Nullen entstehen, außer bei der ersten. Dabei kümmerst du dich nicht um die anderen Spalten!!!

[mm] \green{1} [/mm] 0 1      1   0  0     I (bleibt)
  
[mm] \red{0} [/mm] 2 2      0   1  0     II  (bleibt
  
[mm] \red{0} [/mm] 4 0     -8   0  1     IV = II - 8*I

Wenn du jetzt die obere Zeile nicht mehr benutzt, um von anderen zu- oder abzuziehen, sondern nur noch die beiden unteren, kann bei letzteren nie wieder etwas anderes als Null in der ersten Spalte auftauchen!!! Du darfst aber die obere mit Hilfe der unteren verändern (die hintere 1 muss ja noch weg), aber nicht umgekehrt.

Jetzt sorgst du dafür, dass in der 2. Spalte alle Zahlen über- und unterhalb der 2 zu 0 werden. Um unter oder über der grünen 2 Nullen zu erzeugen, darfst du alle Zeilen AB DER ZWEITEN daraufaddieren oder subtrahieren, aber nicht mehr die erste (wohl auf die erste, aber die nicht mehr auf andere). Die 2. selber solltest du nicht unbedingt verändern.


1 [mm] \red{0} [/mm]  1      1   0  0     I (bleibt)
  
0 [mm] \green{2} [/mm]  2      0   1  0     II  (bleibt
  
0 [mm] \red{0} [/mm] -4     -8  -2  1    V = IV  - 2*II

Dann (oder später) dividierst du alle Zeilen so, dass in der Hauptdiagonale nur 1-en stehen:


1 0  1      1  0     0     I (bleibt)
  
0 1  1      0  1/2   0     VI = II/2  
  
0 0  1      2  1/2  -1/4     VII = V/-4


Jetzt ziehst du VII einmal von den anderen beiden ab, um die letzte Spalte über der letzten 1 auf 0 zu bringen. Du darfst jetzt nur noch die letzte Zeile benutzen.



1 0  [mm] \red{0} [/mm]      -1  -1/2   1/4      VIII = I - VII
  
0 1  [mm] \red{0} [/mm]      -2    0    1/4        IX = VI -VII
  
0 0  [mm] \green{1} [/mm]      2    1/2  -1/4       VII (bleibt)

  
B)
  
4 -3  0     1  0  0    I
  
0 4  -4     0  1  0    II
  
4 4  -2     0  0  1    III
  


[mm] \green{4} [/mm] -3  0     1  0  0    I  (bleibt)
  
[mm] \red{0} [/mm] 4  -4     0  1  0    II   (bleibt)  - mit der 4 kann man aber im nächsten Schritt schlecht die -3 und die 7 wegbekommen, deshalb:
  
[mm] \red{0} [/mm] 7  -2     -1  0  1    IV = III - I
  

4 -3  0     1  0  0    I  (bleibt)
  
0 1  -1     0  1/4  0    V = II/4  
  
0 7  -2     -1  0  1    IV (bleibt)



4 [mm] \red{0} [/mm]  -3   1  3/4  0      VI = I+3*V
  
0 [mm] \green{1} [/mm]  -1     0  1/4  0    V (bleibt)
  
0 [mm] \red{0} [/mm]  5     -1  -7/4  1     VII = IV -7*V




4 0  -3     1     3/4    0      VI(bleibt)
  
0 1  -1     0     1/4    0      V (bleibt)
  
0 0  1     -1/5  -7/20  1/5     VIII = VII/5


4 0  [mm] \red{0} [/mm]     2/5   -3/10    3/5      IX = VI + 3*VIII
  
0 1  [mm] \red{0} [/mm]     -1/5    -1/10    1/5      X = V + VIII
  
0 0  [mm] \green{1} [/mm]     -1/5  -7/20  1/5     VIII (bleibt



1 0  0     1/10   -3/40    3/20      XI = IX /4
  
0 1  0     -1/5    -1/10    1/5      X (bleibt)
  
0 0  1     -1/5  -7/20  1/5     VIII (bleibt




C)
  
5 -2 0 3    1  0  0  0
  
5 2 0 -1    0  1  0  0
  
0 1 1 0     0  0  1  0
  
0 -1 -1 2   0  0  0  1

Jetzt mal mit kurzen Kommentaren:  Zweite minus erste
  
5 -2  0  3     1  0  0  0
  
0  4  0 -4    -1  1  0  0
  
0  1  1  0     0  0  1  0
  
0 -1 -1 2      0  0  0  1

Zweite durch 4:

5 -2  0  3      1     0  0  0
  
0  1  0 -1    -1/4  1/4  0  0
  
0  1  1  0      0     0  1  0
  
0 -1 -1 2       0     0  0  1

Grüne 1 drüber und drunter zu 0:

5  0  0  1     1/2   1/2   0  0
  
0  [mm] \green{1} [/mm]  0 -1    -1/4   1/4   0  0
  
0  0  1  1     1/4  -1/4   1  0
  
0  0 -1  1    -1/4   1/4   0  1

Dritte zur vierten addieren:

5  0  0  1     1/2  1/2   0  0
  
0  1  0 -1    -1/4  1/4   0  0
  
0  0  1  1     1/4  -1/4  1  0
  
0  0  0  2      0     0   1  1

Letzte halbieren:


5  0  0  1     1/2  1/2   0   0
  
0  1  0 -1    -1/4  1/4   0   0
  
0  0  1  1     1/4  -1/4  1   0
  
0  0  0  1      0     0  1/2 1/2

Nullen über grüner 1 erzeugen:

5  0  0  0     1/2  1/2   -1/2  -1/2
  
0  1  0  0    -1/4  1/4    1/2   1/2
  
0  0  [mm] \green{1} [/mm] 0     1/4  -1/4   1/2  -1/2
  
0  0  0  1      0     0    1/2   1/2

Erste durch 5:

1  0  0  0     1/10  1/10   -1/10  -1/10
  
0  1  0  0     -1/4   1/4     1/2    1/2
  
0  0  1  0      1/4   -1/4    1/2   -1/2
  
0  0  0  1       0      0     1/2    1/2


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