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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | a)Berechnen Sie für die Matrix A= [mm] \pmat{ 6 & 0 & 8 \\ 0 & 10 & 0 \\ -8 & 0 & 6 } [/mm] den Ausdruck [mm] A*A^{T}
[/mm]
b)Ist A invertierbar? Geben Sie gegebenenfalls [mm] A^{-1} [/mm] an. Benutzen Sie dabei das Ergebnis der Teilaugabe a). |
Hallo Leute, ich habe den Ausdruck [mm] A*A^{T} [/mm] berechnet:
[mm] A*A^{T}=\pmat{ 100 & 0 & 0 \\ 0 & 100 & 0 \\ 0 & 0 & 100 }. [/mm] Man sieht hier eine Einheitsmatrix. Ich könnte nun zwar die Inverse von neu berechnen, aber ich denke, dass das nicht der Sinn ist. Ich muss ja scheinbar mithilfe von a) begründen, ob A invertierbar ist oder nicht. Sicherlich gibt es hierbei eine Gesetzmäßigkeit, die ich jedoch nicht kenne. Ich weiß lediglich, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante 0 ist. Was steckt dahinter?
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Hallo Owen,
> a)Berechnen Sie für die Matrix A= [mm]\pmat{ 6 & 0 & 8 \\ 0 & 10 & 0 \\ -8 & 0 & 6 }[/mm]
> den Ausdruck [mm]A*A^{T}[/mm]
> b)Ist A invertierbar? Geben Sie gegebenenfalls [mm]A^{-1}[/mm] an.
> Benutzen Sie dabei das Ergebnis der Teilaugabe a).
> Hallo Leute, ich habe den Ausdruck [mm]A*A^{T}[/mm] berechnet:
> [mm]A*A^{T}=\pmat{ 100 & 0 & 0 \\ 0 & 100 & 0 \\ 0 & 0 & 100 }.[/mm]
> Man sieht hier eine Einheitsmatrix. Ich könnte nun zwar
> die Inverse von neu berechnen, aber ich denke, dass das
> nicht der Sinn ist. Ich muss ja scheinbar mithilfe von a)
> begründen, ob A invertierbar ist oder nicht. Sicherlich
> gibt es hierbei eine Gesetzmäßigkeit, die ich jedoch nicht
> kenne. Ich weiß lediglich, dass eine Matrix nicht
> invertierbar ist, wenn die Determinante 0 ist. Was steckt
> dahinter?
Nun die Determinante zu berechnen ist ein guter Ansatz.
Wenn A invertierbar ist, dann muß
[mm]A*A^{-1}=E[/mm], E Einheitsmatrix
gelten.
Und die Determinante der Einheitsmatrix ist ja bekannt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Mathepower und danke für die Antwort. Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe, aber ichs versuchs mal. Also die Determinante der Matrix A ist [mm] 1000\not=0, [/mm] somit ist sie invertierbar. Die Inverse habe ich ausgerechnet, sie ist [mm] A^{-1}=\pmat{ 60 & 0 & 80 \\ 0 & 100 & 0 \\ -80 & 0 & 60 }. [/mm] Interessanterweise ist diese das 10-fache der Matrix A. Ich habe mich hierbei aber nicht auf das Ergebnis der Teilaufgabe a) bezogen. Der Zusammenhang ist mir noch nicht klar.
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Hallo
dir ist doch inzwischen bekannt
[mm] \pmat{ 6 & 0 & 8 \\ 0 & 10 & 0 \\ -8 & 0 & 6}*\pmat{ 6 & 0 & -8 \\ 0 & 10 & 0 \\ 8 & 0 & 6}=\pmat{ 100 & 0 & 0 \\ 0 & 100 & 0 \\ 0 & 0 & 100}
[/mm]
[mm] \pmat{ 6 & 0 & 8 \\ 0 & 10 & 0 \\ -8 & 0 & 6}*\pmat{ 6 & 0 & -8 \\ 0 & 10 & 0 \\ 8 & 0 & 6}=100\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
jetzt hast du doch winderbar deine Einheitsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] die ja gefordert ist für [mm] A*A^{-1}=E, [/mm] jetzt erkennst du den Zusammenhang zur Aufgabe a) und findest auch die inverse Matrix
Steffi
PS
du hast bei deiner inversen Matrix vergessen, durch 1000 zu teielen, det(A)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Do 11.06.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, jetzt erkenne ich den Zusammenhang, danke für den Hinweis.
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Hallo
> Ich weiß lediglich, dass eine Matrix nicht
> invertierbar ist, wenn die Determinante 0 ist. Was steckt
> dahinter?
dir ist sicherlich bekannt, hast du eine Matrix A, so gilt
[mm] A^{-1}=\bruch{adj(A)}{det(A)}
[/mm]
die Division durch Null ist bekanntlich nicht definiert,
Steffi
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