Matrix in einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 21.11.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige, dass $G:= [mm] \{\begin{pmatrix} 1 & 0\\b & A \end{pmatrix} :b\in {K}^k, A\in GL_k(K)\}$ [/mm] Untergruppe von [mm] $GL_{k+1}(K)$ [/mm] bildet. Man zeige weiters, dass [mm] $G\cong Aff(K^k), \left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\b & A \end{pmatrix}\right) \leftrightarrow (v\mapsto Av+b)$ ein Gruppenisomorphismus ist.
Ich komme hier deshalb nicht weiter, weil ich nicht die geringste Vorstellung davon habe, was es bedeutet, wenn eine Matrix in einer Matrix (wie hier) ist. Kann mir das jemand vielleicht erklären? Seid wann kann eine Matrix als Matrixkomponente einer anderen Matrix auftreten und was haben kartesische Paare in einer Matrix verloren?
[/mm]
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Hallo clemenum,
> Man zeige, dass [mm]G:= \{\begin{pmatrix} 1 & 0\\
b & A \end{pmatrix} :b\in {K}^k, A\in GL_k(K)\}[/mm]
> Untergruppe von [mm]GL_{k+1}(K)[/mm] bildet. Man zeige weiters, dass
> [mm]G\cong Aff(K^k), \left(\begin{pmatrix} 1 & 0\\
b & A \end{pmatrix}\right) \leftrightarrow (v\mapsto Av+b)[/mm]
> ein Gruppenisomorphismus ist.
> Ich komme hier deshalb nicht weiter, weil ich nicht die
> geringste Vorstellung davon habe, was es bedeutet, wenn
> eine Matrix in einer Matrix (wie hier) ist. Kann mir das
> jemand vielleicht erklären? Seid wann kann eine Matrix als
> Matrixkomponente einer anderen Matrix auftreten und was
> haben kartesische Paare in einer Matrix verloren?
Die Matrizen in [mm]G[/mm] sind von der Form:
[mm]M=\pmat{1&0&0&\ldots&0\\
b_1&a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1k}\\
b_2&a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2k}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
b_k&a_{k1}&a_{k2}&\ldots&a_{kk}}\in \operatorname{Mat}_{k+1}(\IK)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Do 29.11.2012 | | Autor: | clemenum |
Achsoo ist das! :O
Vielen lieben Dank, Schachuzipus, nun ist mir die Aufgabe klar geworden! 
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