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Matrix hoch n: Brauche einen Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mi 16.05.2012
Autor: ahnungsloser86

Aufgabe
Es sei A [mm] \in C^{mxm}. [/mm] Es gebe ein [mm] n\ge2 [/mm] mit [mm] A^n=A. [/mm] Zeige, dass A diagonalisierbar ist.

Meine bisherige Überlegung ist, dass aus [mm] A^n=A; A^{n-1}*A=E_n*A=A [/mm] folgt. Weiter müsste [mm] A^{n-1}= A^{n-2}*A= E_n=A^{-1}*A [/mm] sein.
Leider versteht ich nicht wie ich von da aus zeigen soll, dass A diagonalisierbar ist. Dazu muss ich ja zeigen, dass eine Matrix P existiert mit der sich A diagonalisieren lässt.

Ich wäre für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Matrix hoch n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Mi 16.05.2012
Autor: Schachtel5

Hallo, mein Vorschlag wäre, sich die Eigenräume anzuschauen, deren direkte Summe [mm] \IC^n [/mm] sein sollte. Wenn gilt, dass [mm] A^n=A [/mm] für ein [mm] n\ge2, [/mm] dann [mm] A^n-A=0 [/mm] , d.h. [mm] A(A^{n-1}-E)=0 [/mm] , E ist die Einheitsmatrix. Kannst du damit weiter machen? Lg

Bezug
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