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| Aufgabe | | Es sei A [mm] \in C^{mxm}. [/mm] Es gebe ein [mm] n\ge2 [/mm] mit [mm] A^n=A. [/mm] Zeige, dass A diagonalisierbar ist. |
Meine bisherige Überlegung ist, dass aus [mm] A^n=A; A^{n-1}*A=E_n*A=A [/mm] folgt. Weiter müsste [mm] A^{n-1}= A^{n-2}*A= E_n=A^{-1}*A [/mm] sein.
Leider versteht ich nicht wie ich von da aus zeigen soll, dass A diagonalisierbar ist. Dazu muss ich ja zeigen, dass eine Matrix P existiert mit der sich A diagonalisieren lässt.
Ich wäre für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, mein Vorschlag wäre, sich die Eigenräume anzuschauen, deren direkte Summe [mm] \IC^n [/mm] sein sollte. Wenn gilt, dass [mm] A^n=A [/mm] für ein [mm] n\ge2, [/mm] dann [mm] A^n-A=0 [/mm] , d.h. [mm] A(A^{n-1}-E)=0 [/mm] , E ist die Einheitsmatrix. Kannst du damit weiter machen? Lg
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