Matrix einer liearen Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Fr 06.01.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung f: R² -> R² definiert durch
[mm] f(a_{1}, a_{2}) [/mm] := [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2}, 2a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})
[/mm]
und die Basen
[mm] B_{1} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \},
[/mm]
[mm] B_{2} [/mm] = [mm] \{ \vektor{-1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0} \} [/mm] des R².
Ermitteln Sie die Darstellungsmatrizen von f bzgl. der Basen
b1) [mm] B_{1}, B_{2}
[/mm]
b2) [mm] B_{2}, B_{1}
[/mm]
b3) [mm] B_{2}, B_{2}
[/mm]
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Hallo. Ich bins schon wieder.
Kann mir jemand sagen, ob mein Rechenweg für b1) so stimmt?
f( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm] )
= ( [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] 2\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }, 2\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm] )
= ( [mm] \pmat{ -1 & 4 \\ 4 & 1 }, \pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 } [/mm] )
Hab also einfach die Basen in f eingefügt.
???
MfG heine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo heine!
> Gegeben sei die Abbildung f: R² -> R² definiert durch
> [mm]f(a_{1}, a_{2})[/mm] := [mm](a_{1}[/mm] + [mm]2a_{2}, 2a_{1}[/mm] - [mm]a_{2})[/mm]
> und die Basen
> [mm]B_{1}[/mm] = [mm]\{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} \},[/mm]
> [mm]B_{2}[/mm] =
> [mm]\{ \vektor{-1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0} \}[/mm] des R².
>
> Ermitteln Sie die Darstellungsmatrizen von f bzgl. der
> Basen
>
> b1) [mm]B_{1}, B_{2}[/mm]
> b2) [mm]B_{2}, B_{1}[/mm]
> b3) [mm]B_{2}, B_{2}[/mm]
>
> Hallo. Ich bins schon wieder.
> Kann mir jemand sagen, ob mein Rechenweg für b1) so
> stimmt?
>
> f( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm] )
> = ( [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]2\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }, 2\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm] )
> = ( [mm]\pmat{ -1 & 4 \\ 4 & 1 }, \pmat{ 3 & -2 \\ -2 & 2 }[/mm] )
>
> Hab also einfach die Basen in f eingefügt.
>
> ???
Was machst du da? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Du musst
$f(1,0)$ und $f(0,1)$ berechnen und die entstehenden Vektoren bezüglich der Basis [mm] $B_2$ [/mm] darstellen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 06.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Also für b1) dann so
f(1,0) = (1,2)
[mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-x \\ 2y} [/mm] + [mm] \vektor{2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 2y}
[/mm]
-> x = 1, y = 1
f(0,1) = (2,-1)
[mm] \vektor{2 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-x \\ 2y} [/mm] + [mm] \vektor{2x \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ 2y}
[/mm]
-> x = 2, y = -1/2
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -\bruch{1}{2}}
[/mm]
Kann man hier auch sowas wie eine Probe machen?
Gruß heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 06.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo heine
> Also für b1) dann so
>
> f(1,0) = (1,2)
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{-x \\ 2y}[/mm] + [mm]\vektor{2x \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ 2y}[/mm]
wie kommst du auf die Gleichung?
du suchst doch x,y die Koordinaten in der Basis B2 also:
[mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] = [mm]x*\vektor{-1 \\ 2}[/mm] + [mm]y*\vektor{2 \\ 0}[/mm] =
> -> x = 1, y = 1
hier ist das Ergebnis zufällig richtig!
> f(0,1) = (2,-1)
>
> [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{-x \\ 2y}[/mm] + [mm]\vektor{2x \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ 2y}[/mm]
aber hier: [mm]\vektor{2 \\ -1}[/mm] = [mm]x*\vektor{-1 \\ 2}[/mm] + [mm]y*\vektor{2 \\ 0}[/mm]
> -> x = 2, y = -1/2
Anderes Ergebnis.!
> A = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & -\bruch{1}{2}}[/mm]
Falsch
> Kann man hier auch sowas wie eine Probe machen?
ja. nimm irgend nen Vektor v=(x1,x2) in der Basis B1 bilde ihn mit f ab, schreibe ihn als Linearkombination der 2 Basisvektoren B2.also [mm] f(v)=y1*b_{21}+y2*b_{22}
[/mm]
dann muss gelten: [mm] A*\vektor{x1 \\ x2}=\vektor{y1 \\ y2}
[/mm]
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 07.01.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke für dein Hinweis!
Da hab ich mal wieder was verbrochen...
MfG heine
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