Matrix diagonalisierbar? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 24.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man entscheide von folgender Matrix, ob sie diagonalisierbar ist, und finde gegebenenfalls eine Matrix P, so dass PAP-¹ Diagonalform hat.
( 1 i
-i 1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiss, wie ich mit den komplexen Zahlen (i) umgehen soll. Grundsätzlich würde ich die Aufgabe so anpacken:
1) Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
2) Falls Eigenvektoren Basis bilden (d.h. linear unabhängig sind), dann schreibe ich P-¹ als die Matrix der Vektoren und kann so P finden. Falls sie keine Basis bilden, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Jedoch habe ich bei dieser Aufgabe nun ein Problem:
Wenn ich die Eigenwerte bestimme mit det(A-cI)=0,
also:
det ( 1-c i
-i 1-c)
= (1-c)(1-c)-(-i²)=1-2c+c²+i²
Dies weiss ich jedoch nicht, wie ich das ausrechnen muss...
Bringt es eventuell etwas, das so zu schreiben:
c²-2c+(1+i²) ?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo natascha und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man entscheide von folgender Matrix, ob sie
> diagonalisierbar ist, und finde gegebenenfalls eine Matrix
> P, so dass PAP-¹ Diagonalform hat.
> ( 1 i
> -i 1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht weiss,
> wie ich mit den komplexen Zahlen (i) umgehen soll.
> Grundsätzlich würde ich die Aufgabe so anpacken:
> 1) Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen
> 2) Falls Eigenvektoren Basis bilden (d.h. linear
> unabhängig sind), dann schreibe ich P-¹ als die Matrix
> der Vektoren und kann so P finden. Falls sie keine Basis
> bilden, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
> Jedoch habe ich bei dieser Aufgabe nun ein Problem:
> Wenn ich die Eigenwerte bestimme mit det(A-cI)=0,
> also:
> det ( 1-c i
> -i 1-c)
> = (1-c)(1-c)-(-i²)=1-2c+c²+i² ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dies weiss ich jedoch nicht, wie ich das ausrechnen
> muss...
> Bringt es eventuell etwas, das so zu schreiben:
> c²-2c+(1+i²) ?
 Ja, was ist denn [mm] $i^2$?
[/mm]
Das ist $=-1$, also lautet das charakteristische Polynom [mm] $p(c)=c^2-2c=c(c-2)$
[/mm]
Das hat die beiden Nullstellen ...
Jetzt aber ...
> Vielen Dank im Voraus!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 24.03.2010 | | Autor: | natascha |
Ahh, so einfach ging das! Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich habe nun die Nullstellen gefunden: c1=0 und c2=2
Dann rechne ich die Eigenvektoren aus: (A-cI)v1=0 bzw. (A-cI)v2=0 und erhalte so v1=(1 i) und v2=(i 1)
Ich kann daraus also eine Basis nehmen, da die beiden linear unabhängig sind (richtig?)
Ich nehme also als P hoch -1 die Matrix:
(1 i
i 1)
und versuche dann aus der Matrix
( 1 i 1 0
i 1 0 1) durch Zeilenumformung die Matrix P zu erhalten...
Doch irgendwie sehe ich noch nicht genau, wie ich die i dort wegkriege...
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Hallo nochmal,
stelle Anschlussfragen bitte auch als Fragen, sonst werden sie nicht gut als solche wahrgenommen...
> Ahh, so einfach ging das! Vielen Dank für deine Hilfe!
> Ich habe nun die Nullstellen gefunden: c1=0 und c2=2
> Dann rechne ich die Eigenvektoren aus: (A-cI)v1=0 bzw.
> (A-cI)v2=0 und erhalte so v1=(1 i) und v2=(i 1)
>
> Ich kann daraus also eine Basis nehmen, da die beiden
> linear unabhängig sind (richtig?)
Ja, das char. Polynom zerfällt ja vollst. in verschiedene Linearfaktoren, damit ist die Matrix schon diagonalisierbar.
> Ich nehme also als P hoch -1 die Matrix:
> (1 i
> i 1)
> und versuche dann aus der Matrix
> ( 1 i 1 0
> i 1 0 1) durch Zeilenumformung die Matrix P zu
> erhalten...
> Doch irgendwie sehe ich noch nicht genau, wie ich die i
> dort wegkriege...
Na, der Eintrag [mm] $a_{21}$ [/mm] ist zu eliminieren, addiere also das $-i$-fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile ...
Mache das mal, dann siehst du schon, wie es läuft.
Alternativ erinnere dich daran, dass es zur Berechnung einer Inversen [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix doch eine nette Formel mit "Det." gibt ...
Wie war das noch? Was sagt die VL?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mi 24.03.2010 | | Autor: | natascha |
Ah super! Vielen Dank! Ich habe es jetzt mit der Formel
A hoch -1 = 1/(Det A) (d -b
-c a)
ausgerechnet und erhalte für P die Matrix:
(1/2 -i/2
-i/2 1/2)
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 24.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Man entscheide, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist und man finde ggf. eine Matrix P, so dass PA(P hoch-1) Diagonalform hat:
( -5 0 7
6 2 -6
-4 0 6) |
Ich habe die Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom berechnet und erhalte c1=2, c2=2 und c3= -1
Wenn ich dann die Eigenvektoren berechne (mit (A-cI)v=0), erhalte ich folgende Eigenvektoren:
v1=(1 a 1) wobei a beliebig ist
v2=(7/4 -3/2 1)
Daraus schliesse ich, da es nur 2 Eigenvektoren sind, dass die beiden keine Basis für die Matrix sein können, da die Matrix Dimension 3 hat. Daraus schliesse ich, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Darf ich diese Schlüsse ziehen?
Vielen Dank!
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Hallo
> Man entscheide, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist und
> man finde ggf. eine Matrix P, so dass PA(P hoch-1)
> Diagonalform hat:
> ( -5 0 7
> 6 2 -6
> -4 0 6)
> Ich habe die Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom
> berechnet und erhalte c1=2, c2=2 und c3= -1
Die Eigenwerte stimmen schon mal.. :)
>
> Wenn ich dann die Eigenvektoren berechne (mit (A-cI)v=0),
> erhalte ich folgende Eigenvektoren:
> v1=(1 a 1) wobei a beliebig ist
> v2=(7/4 -3/2 1)
>
Ich kriege 3 verschiedene Eigenvektoren raus..
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ -6 \\ 4}
[/mm]
> Daraus schliesse ich, da es nur 2 Eigenvektoren sind, dass
> die beiden keine Basis für die Matrix sein können, da die
> Matrix Dimension 3 hat. Daraus schliesse ich, dass die
> Matrix nicht diagonalisierbar ist. Darf ich diese Schlüsse
> ziehen?
> Vielen Dank!
Jetzt kannste deine Matrix aufstellen.. :)
Grüsse, Amaro
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> Man entscheide, ob folgende Matrix diagonalisierbar ist und
> man finde ggf. eine Matrix P, so dass PA(P hoch-1)
> Diagonalform hat:
> ( -5 0 7
> 6 2 -6
> -4 0 6)
> Ich habe die Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom
> berechnet und erhalte c1=2, c2=2 und c3= -1
>
> Wenn ich dann die Eigenvektoren berechne (mit (A-cI)v=0),
> erhalte ich folgende Eigenvektoren:
> v1=(1 a 1) wobei a beliebig ist
> v2=(7/4 -3/2 1)
>
> Daraus schliesse ich, da es nur 2 Eigenvektoren sind, dass
> die beiden keine Basis für die Matrix sein können, da die
> Matrix Dimension 3 hat. Daraus schliesse ich, dass die
> Matrix nicht diagonalisierbar ist. Darf ich diese Schlüsse
> ziehen?
> Vielen Dank!
Hallo,
Du hast den Kern von A-2I nicht richtig ausgerechnet:
[mm] A-2I=\pmat{-7&0&7\\6&0&-6\\ -4&0&4} [/mm] --> [mm] \pmat{1&0&-1\\0&0&0\\ 0&0&0}
[/mm]
Der Rang der Matrix ist 1, also hat der Kern die Dimension 3-1=2.
Das führende Zeilenelement steht in der 1. Spalte, also können die 2. und 3. Variable frei gewählt werden.
Mit
z=b
y=a
erhält an aus der 1.Zeile
x=b.
Die Lösungen haben die Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{b\\a\\b}=a*\vektor{0\\1\\0}+b*\vektor{1\\0\\1}, [/mm] und damit hast Du die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 2.
Hätte der Eigenraum zu 2 aber tatsächlich die Dimension 1, so wäre die Matrix in der Tat nicht diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mi 24.03.2010 | | Autor: | natascha |
Vielen Dank für Eure Antworten - jetzt hat es geklappt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 25.03.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | | Man entscheide, ob die folgende Matrix diagonalisierbar ist und finde ggf. die Matrix P, so dass PAP-¹ Diagonalform hat. |
Hier ist noch eine Frage von diesem Typ. Ich habe jetzt verstanden, wie man das angeht, jedoch habe ich hier ein rechnerisches Problem. Irgendwie erhalte ich immer "komische" Werte für die Eigenwerte, also keine ganzen Zahlen oder so...
Hier mein Rechenweg:
Eigenwerte bestimmen mit det (A-cI)=0
det ( 2-c 1 2
-2 -2-c -6
1 2 5-c)
Mit der Regel von Sarrus:
= (2-c)(-2-c)(5-c) + (-6) + (-2)(2)(2) - (2)(-2-c)(1) - ((2)(-6)(2-c)) - ((5-c)(-2)(1))
= -c³ + 5c² - 8c = 0
und erhalte somit c1=0,
c2= (-5 + sqrt(57)) / -2
c3= (-5 - sqrt(57)) / -2
Was mache ich falsch? Danke!!
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> Man entscheide, ob die folgende Matrix diagonalisierbar ist
> und finde ggf. die Matrix P, so dass PAP-¹ Diagonalform
> hat.
> Hier ist noch eine Frage von diesem Typ. Ich habe jetzt
> verstanden, wie man das angeht, jedoch habe ich hier ein
> rechnerisches Problem. Irgendwie erhalte ich immer
> "komische" Werte für die Eigenwerte, also keine ganzen
> Zahlen oder so...
> Hier mein Rechenweg:
> Eigenwerte bestimmen mit det (A-cI)=0
> det ( 2-c 1 2
> -2 -2-c -6
> 1 2 5-c)
> Mit der Regel von Sarrus:
> = (2-c)(-2-c)(5-c) + (-6) + (-2)(2)(2) - (2)(-2-c)(1) - ((2)(-6)(2-c)) - ((5-c)(-2)(1))
Hallo,
bis hierher sieht's mir richtig aus.
> = -c³ + 5c² - 8c [mm] \red{+ ???}= [/mm] 0
Wenn Du richtig ausmultipliziert hast, wird sich alles finden.
Gruß v. Angela
> und erhalte somit c1=0,
> c2= (-5 + sqrt(57)) / -2
> c3= (-5 - sqrt(57)) / -2
> Was mache ich falsch? Danke!!
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