Matrix diagonalisierbar? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3}
[/mm]
Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die Matrix diagonalisierbar ist. Geben Sie die EW und EV der Matrix an. |
OK um das zu machen stelle ich das characteristische Polynomauf:
[mm] P_A(\lambda) [/mm] = det [mm] \pmat{ 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3-\lambda & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3-\lambda}
[/mm]
Da hier eine Matrix der Form:
[mm] \pmat{ A & C \\ 0 & B } [/mm] vorliegt kann ich die Determinante so berechnen:
det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)
Also:
det [mm] \pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 1 & 2-\lambda} \cdot [/mm] det [mm] \pmat{-3-\lambda & -5 \\1 & 3-\lambda}
[/mm]
[mm] =(2-\lambda)^2 \cdot [(-3-\lambda)(3-\lambda)-5]
[/mm]
[mm] =(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-14)
[/mm]
Es ergeben sich folgende Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 2 (mit algebraischer Vielfachheit 2), [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{14} [/mm] (mit algebraischer Vielfachheit 2)
Soweit richtig?
Nun müsste die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten berechnen:
also setze ich erstmal [mm] \lambda [/mm] = 2 ein. Ergibt:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & -5 & -5 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1& |0}
[/mm]
Nun sehe ich ja, dass ich auf jedenfall eine Variable frei wählen kann ... allerdings können auch die unteren beiden Zeilen durch elementar Operationen gleich 0 gesetzt werden.
Dadurch habe ich ja nun 3 frei wählbare Variablen und eine somit eine geometrische Vielfachheit von 3.
Sofern meine Beobachtungen und Berechnungen richtig sein bedeutete dies:
alg.V. [mm] \not= [/mm] geo.V.
[mm] \Rightarrow [/mm] Matrix ist nicht Diagonalisierbar oder?
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Hallo ganzir,
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3}[/mm]
>
> Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die Matrix
> diagonalisierbar ist. Geben Sie die EW und EV der Matrix
> an.
> OK um das zu machen stelle ich das characteristische
> Polynomauf:
>
> [mm]P_A(\lambda)[/mm] = det [mm]\pmat{ 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3-\lambda & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3-\lambda}[/mm]
>
> Da hier eine Matrix der Form:
>
> [mm]\pmat{ A & C \\ 0 & B }[/mm] vorliegt kann ich die Determinante
> so berechnen:
>
> det(A) [mm]\cdot[/mm] det(B)
>
> Also:
>
> det [mm]\pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 1 & 2-\lambda} \cdot[/mm] det
> [mm]\pmat{-3-\lambda & -5 \\1 & 3-\lambda}[/mm]
>
> [mm]=(2-\lambda)^2 \cdot [(-3-\lambda)(3-\lambda)-5][/mm]
Hier muß es doch heissen:
[mm]=(2-\lambda)^2 \cdot [(-3-\lambda)(3-\lambda)\red{-}\left(-5\right)][/mm]
>
> [mm]=(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-14)[/mm]
[mm]=(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-\red{4})[/mm]
>
> Es ergeben sich folgende Eigenwerte:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2 (mit algebraischer Vielfachheit 2),
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{14}[/mm] (mit algebraischer Vielfachheit
> 2)
>
> Soweit richtig?
Die Eigenwerte mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Nun müsste die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten
> berechnen:
>
> also setze ich erstmal [mm]\lambda[/mm] = 2 ein. Ergibt:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & -5 & -5 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1& |0}[/mm]
>
> Nun sehe ich ja, dass ich auf jedenfall eine Variable frei
> wählen kann ... allerdings können auch die unteren beiden
> Zeilen durch elementar Operationen gleich 0 gesetzt
> werden.
>
> Dadurch habe ich ja nun 3 frei wählbare Variablen und eine
> somit eine geometrische Vielfachheit von 3.
Die letzten beiden Zeilen lassen sich auf eine Gleichung reduzieren.
Somit hast Du auch nur 2 frei wählbare Variablen.
>
> Sofern meine Beobachtungen und Berechnungen richtig sein
> bedeutete dies:
>
> alg.V. [mm]\not=[/mm] geo.V.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix ist nicht Diagonalisierbar oder?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 09.06.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] =(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-\red{4}) [/mm] $ |
Danke für den Hinweis ... mal wieder ein dummer Vorzeichenfehler....
Nun gut, damit habe ich dann also für [mm] \lambda_2 [/mm] nun also den Wert [mm] \wurzel{4}
[/mm]
was ja 2 und -2 sein kann.
Und meine Matrix sieht dann so aus:
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1& |0} [/mm] $
Damit habe ich nun 2 freie Variablen ich könnte also sagen
z = [mm] \alpha
[/mm]
y = [mm] \beta
[/mm]
Wie läuft es denn nun mit der Berechnung der Eigenvektoren?
Ich hatte bisher nur Fälle mit einer frei wählbaren Variablen.
Ein Beispiel wäre echt super.
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Hallo ganzir,
> [mm]=(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-\red{4})[/mm]
> Danke für den
> Hinweis ... mal wieder ein dummer Vorzeichenfehler....
>
> Nun gut, damit habe ich dann also für [mm]\lambda_2[/mm] nun also
> den Wert [mm]\wurzel{4}[/mm]
>
> was ja 2 und -2 sein kann.
>
> Und meine Matrix sieht dann so aus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1& |0}[/mm]
>
> Damit habe ich nun 2 freie Variablen ich könnte also sagen
>
> z = [mm]\alpha[/mm]
> y = [mm]\beta[/mm]
>
> Wie läuft es denn nun mit der Berechnung der
> Eigenvektoren?
Ich denke, die Eigenvektoren brauchst Du hier nicht zu berechnen.
>
> Ich hatte bisher nur Fälle mit einer frei wählbaren
> Variablen.
>
> Ein Beispiel wäre echt super.
Die Lösungen des obigen Systems ergeben sich zu:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\pmat{0 \\ \beta \\ \alpha \\ -\alpha}=\alpha*\overrightarrow{ev_{1}}+\beta*\overrightarrow{ev_{2}}=\alpha*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+\beta*\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
Die Vektoren [mm]\overrightarrow{ev_{1}}, \overrightarrow{ev_{2}}[/mm] sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert 2.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 09.06.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\pmat{0 \\ \beta \\ \alpha \\ -\alpha}=\alpha\cdot{}\overrightarrow{ev_{1}}+\beta\cdot{}\overrightarrow{ev_{2}}=\alpha\cdot{}\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+\beta\cdot{}\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...} [/mm] $ |
Ich fürchte ich komme da nicht ganz mit:
Zunächst stelle ich die Matrix nochmal um, um die Nullen in den Beiden unteren Zeilen zu haben, ob Sinn oder nicht sei jetzt mal dahingestellt, bei allen andern Aufgaben in diesem Stil, die ich bis jetzt gemacht habe war das immer so, führt mich also zu:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0& |0} [/mm] $
OK die erste Zeile heißt ja nichtas anderes als [mm] 1\cdot x_1 [/mm] + [mm] 0\cdot x_2 [/mm] + [mm] 0\cdot x_3 [/mm] + [mm] 0\cdot x_4 [/mm] = 0
Also [mm] x_1=0
[/mm]
So aufgrund von Zeile 3 setze ich [mm] x_3 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und aufgrund von Zeile 4 setze ich [mm] x_4 [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
Bliebe noch Zeile 2 da steht dann ja [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] -\beta \Rightarrow \beta [/mm] = [mm] -\alpha
[/mm]
Also [mm] \alpha [/mm] - [mm] \alpha [/mm] = 0
Aber wie kann ich denn nun eine Aussage über [mm] x_2 [/mm] treffen?
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Hallo ganzir,
> [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}=\pmat{0 \\ \beta \\ \alpha \\ -\alpha}=\alpha\cdot{}\overrightarrow{ev_{1}}+\beta\cdot{}\overrightarrow{ev_{2}}=\alpha\cdot{}\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}+\beta\cdot{}\pmat{... \\ ... \\ ... \\ ...}[/mm]
>
> Ich fürchte ich komme da nicht ganz mit:
>
> Zunächst stelle ich die Matrix nochmal um, um die Nullen in
> den Beiden unteren Zeilen zu haben, ob Sinn oder nicht sei
> jetzt mal dahingestellt, bei allen andern Aufgaben in
> diesem Stil, die ich bis jetzt gemacht habe war das immer
> so, führt mich also zu:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0& |0}[/mm]
>
> OK die erste Zeile heißt ja nichtas anderes als [mm]1\cdot x_1[/mm]
> + [mm]0\cdot x_2[/mm] + [mm]0\cdot x_3[/mm] + [mm]0\cdot x_4[/mm] = 0
>
> Also [mm]x_1=0[/mm]
>
> So aufgrund von Zeile 3 setze ich [mm]x_3[/mm] = [mm]\alpha[/mm] und aufgrund
> von Zeile 4 setze ich [mm]x_4[/mm] = [mm]\beta[/mm]
>
> Bliebe noch Zeile 2 da steht dann ja [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]-\beta \Rightarrow \beta[/mm] = [mm]-\alpha[/mm]
>
> Also [mm]\alpha[/mm] - [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> Aber wie kann ich denn nun eine Aussage über [mm]x_2[/mm] treffen?
Ich nahm an, daß [mm]z=x_{3}=\alpha[/mm] und [mm]y=x_{2}=\beta[/mm]
Daraus ergibt sich dann obige Lösung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 09.06.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Ich nahm an, daß $ [mm] z=x_{3}=\alpha [/mm] $ und $ [mm] y=x_{2}=\beta [/mm] $
Daraus ergibt sich dann obige Lösung. |
OK ... ich konnte es jetzt auch nachvollziehen,
das führt mich zu einer weiteren und hoffentlich letzten Frage:
$ [mm] =(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-4) [/mm] $
Das bedeutet doch, dass ich für [mm] \lambda [/mm] = 2 eine alg. Vielfachheit von 3 habe, aber wie weiter oben zu lesen nur 2 Variablen frei wählen kann.
Das bedeutet doch dann, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist oder?
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Hallo ganzir,
> Ich nahm an, daß [mm]z=x_{3}=\alpha[/mm] und [mm]y=x_{2}=\beta[/mm]
>
> Daraus ergibt sich dann obige Lösung.
> OK ... ich konnte es jetzt auch nachvollziehen,
>
> das führt mich zu einer weiteren und hoffentlich letzten
> Frage:
>
> [mm]=(2-\lambda)^2 \cdo (\lambda^2-4)[/mm]
>
> Das bedeutet doch, dass ich für [mm]\lambda[/mm] = 2 eine alg.
> Vielfachheit von 3 habe, aber wie weiter oben zu lesen nur
> 2 Variablen frei wählen kann.
>
> Das bedeutet doch dann, dass die Matrix nicht
> diagonalisierbar ist oder?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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