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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 17.07.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix des linearen Differentialoperators d/dx in der Basis B = [mm] x^{k} [/mm] * exp(x) | 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n ; n [mm] \varepsilon \IN. [/mm] |
Hallo,
ich brauche etwas Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe und wäre für einen Korrektur meiner Vorgehensweise sehr dankbar.
Also der Differenzialoperator leitet gibt die Anweisung zur Ableitung einer Funktion.
Habe zuerst für k=1 also B1= [mm] x^{1} [/mm] * exp(x) die Ableitung gebildet, um zu schauen, ob sich für größere k eine Gesetzmäßigkeit ergibt, also
so z.B: x * exp(x) -> B1'(x) = x * exp(x) + exp(x) = exp(x) * (x+1)
und für größere k: ------> Bk' = exp(x) * [mm] (x^{k} [/mm] + ( k * [mm] x^{k-1})
[/mm]
Hab dann gewählt:
p0(x) = 1
p1(x) = x
p2(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
p3(x) = [mm] x^{3}
[/mm]
... als Monombasen
für B1'(x) = exp(x) * (1 * p0(x) + p1(x))
B2'(x) = exp(x) * (0*p0(x) + 2* p1(x) + 1* p2(x)) ...
B3'(x) = exp(x) * ( 0* ..... + 3*p2(x) + 1* p3(x))
Also insgesamt passiert dann das in der Matrix, wenn man die Koeffizienten der Gleichungen oben als eine Spalte der Abbildungsmatrix schreibt
A -> A : M = exp(x) * [mm] \pmat{ k & 0 & ... & ... & 0 \\ 1 & k+1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & k+2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 1 & k+3 & ... }
[/mm]
das ganze bis k+n weiter . Kann man das so machen? k ist dabei der Grad des Monoms. Wichtig ist, dass in der Matrix das k immer größer wird, also ich kann ja k beliebig wählen, solange es eine natürliche Zahl ist...
Ich hoffe, es wird klar, was ich meine.
Lieben Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mo 18.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich hast du doch [mm] B_k'=B_k+k*B_{k-1}
[/mm]
in der ersten Spalte, das Bild vpn [mm] B_0 [/mm] ist (1,0,0...)
zweite Spalte das Bild von [mm] B_1 [/mm] (1,1,0,0.0--)
3 te Spalte Bild vom [mm] B_2 [/mm] (0,2,1,0.0--) usw.
k te Spalte (k-1 mal die Null,k,1,0,0)
k kommt nut in der k ten Spalte vor, in keiner anderen,
Gruß leduart
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