Matrix bezügl. einer Basis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 29.03.2009 | | Autor: | hainz |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bin gerade beim lernen und bin nun im Vorlesungsskript an eine Stelle gekommen, die ich nicht nachvollziehen kann. Problem ist, am Ende der Aufgaben wird aus einer neu berechneten Basis (z.B. Vektoren b1,...,b4) eine Matrix aufgestellt, aber nirgendwo wird erklärt wie (wird anscheinend vorausgesetzt). Nun ein konkretes Beispiel:
gegeben: V:= [mm] R^4, [/mm] Matrix A der Funktion f bezüglich der Standardbasis von V:
(EDIT:)
1 -1 0 1
0 1 0 0
-1 -1 2 1
0 -1 0 2
im Verlauf der Aufgabe wurde die Basis von V aus folgenden Vektoren ermittelt: b1=(0,1,0,1), b2=(1,0,1,0), b3=(1,0,0,1), b4=(0,0,1,0).
Die Matrix von f bezügl. b1,...,b4 ist (ich nenn sie A2):
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
Aber wie ist man auf diese letzte Matrix gekommen? Wegen "Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basis" hab ich also Versucht A*b1 etc und dachte so komme ich auf die Spalten von A2, aber das stimmt ja wohl nicht. Ich glaube da hab ich wohl nen schlimmen Denkfehler :/
Danke schonmal für die Hilfe =)
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Hallo hainz,
da ist aber irgendwas komisch.
Im ersten Fall bzgl.der Standardbasis hast du eine [mm] $3\times [/mm] 4$-Matrix, die repräsentiert dir eine Abb. [mm] $f:\IR^4\to\IR^3$
[/mm]
Im anderen Fall schreibst du eine [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix hin, die wäre für eine Abb. [mm] $\IR^4\to\IR^4$
[/mm]
Da stimmt also irgendwas nicht.
Poste mal die komplette und wortgetreue Aufgabenstellung
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 30.03.2009 | | Autor: | hainz |
ups da hab ich mich wohl vertippt, die erste muss sein:
1 -1 0 1
0 1 0 0
-1 -1 2 1
0 -1 0 2
Die Aufgabe selbst darf ich glaub nicht kopieren wegen Urheberrecht (ist ja aus dem Vorlesungsskript (heruntergeladen, nich selbst gemacht, sondern vom Prof.)).
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> (EDIT:)
> 1 -1 0 1
> 0 1 0 0
> -1 -1 2 1
> 0 -1 0 2
>
> im Verlauf der Aufgabe wurde die Basis von V aus folgenden
> Vektoren ermittelt: b1=(0,1,0,1), b2=(1,0,1,0),
> b3=(1,0,0,1), b4=(0,0,1,0).
> Die Matrix von f bezügl. b1,...,b4 ist (ich nenn sie A2):
> 1 0 0 0
> 0 1 0 0
> 0 0 2 0
> 0 0 0 2
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich setze mir mal meinen Raben auf die Schulter und schau in den Kaffeesatz:
ich vermute mal ganz stark, daß es hier um Diagonalisierbarkeit von Matrizen geht.
Bevor ich allzutief hier einsteige und mit die Finger wundtippe, überprüfe am besten erstmal, ob das paßt.
Wenn es paßt, dann ist der Verlauf der folgende:
charakteristisches Polynom berechnen, Eigenwerte der Matrix bestimmen.
Basen der Eigenräume berechnen, feststellen, daß es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.
Aufstellen der darstellenden Matrix bzgl. der Eigenbasis ergibt die Diaginalmatrix
> 1 0 0 0
> 0 1 0 0
> 0 0 2 0
> 0 0 0 2.
Wenn das so in etwa zu Eurem Thema paßt, dann fang mal an und schau, wie weit Du kommst.
Bei Rückfragen poste, was Du bisher getan und erreicht hast, dann kann man Dir weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 30.03.2009 | | Autor: | hainz |
gut geraten ^^ aber das ist ja nicht mein Problem, wie man auf die Basen etc kommt, sondern eben:
> Aufstellen der darstellenden Matrix bzgl. der Eigenbasis ergibt die Diaginalmatrix
DER Teil erschließt sich mir nicht. Es steht überall nur da, dass ich die Matrix bezügl. irgendwelcher Basen aufstellen muss, aber WIE das funktioniert hab ich wohl irgendwie verpasst und ich finds auch nirgends, weil es scheinbar immer vorausgesetzt wird, was es mir um so wichtiger macht, es endlich zu verstehen :P
Deswegen hab ich ja auch nicht die ganze Aufgabe abgeschrieben sondern nur den Teil, bei dem ich denke der zur Aufstellung der Matrix bezügl. der neuen Basen nötig ist.
Das mag euch vll banal vorkommen aber mir wäre es wichtig das endlich zu verstehen ^^
Grüße und danke =)
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> DER Teil erschließt sich mir nicht.
Achso, das war dann vielleicht nicht so günstig kommuniziert.
Du hast also die gegebene matrix A und inzwischen festgestellt, daß [mm] B:=(b_1,...b_4) [/mm] mit
>>>> b1=(0,1,0,1), b2=(1,0,1,0), b3=(1,0,0,1), b4=(0,0,1,0)
eine Basis aus Eigenvektoren ist.
Um nun die darstellende Matrix bzgl dieser Basis aufzustellen, ist folgendes zu tun:
man benötigt zuerst mal die Matrix [mm] _ET_B, [/mm] welche einem Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, in solche bzgl. Standardkoordinaten umwandelt.
Diese Matrix ist sehr einfach zu bekommen, schreib einfach die Vektoren aus B in die Spalten.
(Diese Matrix enthalt in den Spalten die Basisvektoren von B bzgl der Standardbasis E.)
Die Matrix [mm] A*_ET_B [/mm] ist dann die darstellende Matrix bzgl der Basen B (Eingang) und Standardbasis E (Ausgang), noch nicht das Gewünschte.
Du brauchst nun noch die Matrix, die Dir Vektoren bzgl. der Standardbasis in solche bzgl. B umwandelt, und dies tut [mm] (_ET_B)^{-1} [/mm] für Dich.
Insgesamt liefert dann [mm] (_ET_B)^{-1}*A*_ET_B [/mm] die gewünschte Matrix.
Von rechts nach links passiert bei Multiplikation mit einem Vektor x folgendes: Koordinatenvektor x bzgl. B wird umgewandelt in Koordinatenvektor bzgl Standardbasis, das Bild des Vektors in Standardbasis bestimmt, dieser Vektor umgewandelt in Koodinaten bzgl. B.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Di 31.03.2009 | | Autor: | hainz |
ah ok, danke für die Hilfe an alle! Wenn ich wieder Fragen hab werd ich mich an euch wenden ^^
Grüße
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