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| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IR^{3 \times 3} [/mm] gegeben durch:
A = [mm] \begin{pmatrix}
a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
a& 1 & a
\end{pmatrix}
[/mm]
a) Berechnen Sie det(A).
b) Bestimmen Sie alle $a [mm] \in \IR$, [/mm] für die [mm] Rang($A^{T}$) [/mm] = 3 gilt und berechnen Sie [mm] det(A^{-1}) [/mm] für diese $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
c) Bestimmen Sie det(2011A) und [mm] det(A^{2011}) [/mm] |
a.) Ganz simpel: $a(a+1)+a+1-a-(a+1)-a = [mm] a^{2}+a+a+1-a-a-1-a$
[/mm]
= [mm] a^{2}-a [/mm] = a(a-1)
b.) Hier fängt es bereits an schwierig zu werden für mich:
Mit Grauß-Algo:
[mm] $\begin{pmatrix}
a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
a& 1 & a
\end{pmatrix}$
[/mm]
3Z - 2Z*a:
[mm] $\begin{pmatrix}
a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
0& 1-a & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
Damit weiß ich bereits, dass wenn a = 1 ist, der Rang 2 wäre, also für alle a [mm] \neq [/mm] 1 der Rang = 3 ist. Wie soll nun für alle a [mm] \neq [/mm] 1 [mm] det(A^{-1}) [/mm] berechnet werden? Ich weiß das folgendes gilt:
[mm] det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{det(A) }
[/mm]
Nur wie lässt sich das a [mm] \neq [/mm] 1 einbauen?
c) Hier würde ich zuerst die Diagonalmatrix von A bestimmen:
Eigenwerte von A durch charakteristisches Polynom aus a):
$a(a-1) = 0$
[mm] \lambda_{1} [/mm] =0
[mm] \lambda_{2} [/mm] =1
Nun würde die Diagonalmatrix wiefolgt aussehen:
D=
[mm] \begin{pmatrix}
0 &0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Gebraucht werden aber 3 EW um eine 3-dimensionale Diagonalmatrix zu bekommen. Bräuchte einen Tipp oder Denkanstoß ...
Vielen Dank! Mfg Martin
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Hallo,
> Es sei A [mm]\in \IR^{3 \times 3}[/mm] gegeben durch:
>
> A = [mm]\begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
a& 1 & a \end{pmatrix}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie det(A).
> b) Bestimmen Sie alle [mm]a \in \IR[/mm], für die Rang([mm]A^{T}[/mm]) = 3
> gilt und berechnen Sie [mm]det(A^{-1})[/mm] für diese [mm]a \in \IR[/mm].
>
> c) Bestimmen Sie det(2011A) und [mm]det(A^{2011})[/mm]
> a.) Ganz simpel: [mm]a(a+1)+a+1-a-(a+1)-a = a^{2}+a+a+1-a-a-1-a[/mm]
>
> = [mm]a^{2}-a[/mm] = a(a-1)
>
Das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b.) Hier fängt es bereits an schwierig zu werden für
> mich:
> Mit Grauß-Algo:
>
> [mm]$\begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
a& 1 & a \end{pmatrix}$[/mm]
>
> 3Z - 2Z*a:
> [mm]$\begin{pmatrix} a+1 & 1 & 1\\
1& 1 &1 \\
0& 1-a & 0 \end{pmatrix}$[/mm]
>
Hm, wieso verwendest du hier nicht dein Resultat aus a)? Wenn die Matrix vollen Rang hat, sollte [mm] Det(A)\ne{0} [/mm] sein...
> Damit weiß ich bereits, dass wenn a = 1 ist, der Rang 2
> wäre, also für alle a [mm]\neq[/mm] 1 der Rang = 3 ist. Wie soll
> nun für alle a [mm]\neq[/mm] 1 [mm]det(A^{-1})[/mm] berechnet werden? Ich
> weiß das folgendes gilt:
> [mm]det(A^{-1})[/mm] = [mm]\frac{1}{det(A) }[/mm]
> Nur wie lässt sich das
> a [mm]\neq[/mm] 1 einbauen?
>
> c) Hier würde ich zuerst die Diagonalmatrix von A
> bestimmen:
> Eigenwerte von A durch charakteristisches Polynom aus a):
> [mm]a(a-1) = 0[/mm]
> [mm]\lambda_{1}[/mm] =0
> [mm]\lambda_{2}[/mm] =1
Hm, hier verwechselst du etwas. Das charakteristische Polynom sollte ein Poynom in [mm] \lambda [/mm] sein, a ist hier nur als Formvariable anzusehen.
Ab hierher ist es also nicht mehr richtig, insbesondere sollte ja D eine 3x3-Matrix sein!
Gruß, Diophant
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Danke schonmal!
Das Ergebnis aus a) liefert:
a(a-1) = 0 [mm] \rightarrow \{ a_{1} = 0 \land
a_{2} = 1\}
[/mm]
d.h. für a [mm] \neq [/mm] 0 und a [mm] \neq [/mm] 1 ist der Rang(A) = 3
Also Rang(A) = 3 für [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{0,-1\}
[/mm]
Wie berechnet man nun [mm] det(A^{-1}) \forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \{0,-1\} [/mm] ?
Zur c)
Da hab ich jetz folgenden grausigen Term und weiß nicht weiter:
[mm] \begin{vmatrix}
a+1-\lambda & 1 & 1\\
1 & 1-\lambda & 1\\
a & 1 & a-\lambda
\end{vmatrix}
[/mm]
= [mm] -2a\lambda+2\lambda^{2}-\lambda^{3}+2a\lambda^{2}-a+\lambda+a^{2}-a^{2}\lambda
[/mm]
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Hallo,
> Danke schonmal!
>
> Das Ergebnis aus a) liefert:
> a(a-1) = 0 [mm]\rightarrow \{ a_{1} = 0 \land a_{2} = 1\}[/mm]
>
> d.h. für a [mm]\neq[/mm] 0 und a [mm]\neq[/mm] 1 ist der Rang(A) = 3
>
> Also Rang(A) = 3 für [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\{0,-1\}[/mm]
>
> Wie berechnet man nun [mm]det(A^{-1}) \forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] \
> [mm]\{0,-1\}[/mm] ?
da solltest du aber mal ein paar gründliche Blicke in deine Unterlagen riskieren. 
Ist eine Matrix A invertierbar (was du mit rg(A)=3 gezeigt hast), so gilt
[mm] det\left(A^{-1}\right)=det(A)^{-1}
[/mm]
>
> Zur c)
> Da hab ich jetz folgenden grausigen Term und weiß nicht
> weiter:
>
> [mm]\begin{vmatrix} a+1-\lambda & 1 & 1\\
1 & 1-\lambda & 1\\
a & 1 & a-\lambda \end{vmatrix}[/mm]
>
> =
> [mm]-2a\lambda+2\lambda^{2}-\lambda^{3}+2a\lambda^{2}-a+\lambda+a^{2}-a^{2}\lambda[/mm]
>
rechne hier zur Sicherheit nochmal nach. Ich habe fast das gleiche heraus:
[mm] -\lambda^3+2(a+1)\lamda^2-(a^2+a+1)\lambda+a^2-a
[/mm]
d.h., der Koeffizient von [mm] a\lambda^2 [/mm] ist bei mir anders.
Leider muss ich los, ich hatte gehofft, dass man da irgendwie die 'schnelle Faktorisierung' sieht, aber die zündende Idee hatte ich noch nicht.
Ich stelle daher mal auf 'teilweise beantwortet'. Prüfe aber dein charakteristisches Polynom zur Sicherheit nochmal, bevor weitergerechnet wird.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > Danke schonmal!
> >
> > Das Ergebnis aus a) liefert:
> > a(a-1) = 0 [mm]\rightarrow \{ a_{1} = 0 \land a_{2} = 1\}[/mm]
> >
> > d.h. für a [mm]\neq[/mm] 0 und a [mm]\neq[/mm] 1 ist der Rang(A) = 3
> >
> > Also Rang(A) = 3 für [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\{0,-1\}[/mm]
> >
> > Wie berechnet man nun [mm]det(A^{-1}) \forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] \
> > [mm]\{0,-1\}[/mm] ?
>
> da solltest du aber mal ein paar gründliche Blicke in
> deine Unterlagen riskieren.
>
> Ist eine Matrix A invertierbar (was du mit rg(A)=3 gezeigt
> hast), so gilt
>
> [mm]det\left(A^{-1}\right)=det(A)^{-1}[/mm]
>
Ich hatte ja bereits im ersten Post mit meiner Frage dazugeschrieben, dass ich folgendes weiß:
[mm] $det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{det(A) }$
[/mm]
Mir geht es aber vielmehr um das [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] ohne [mm] \{0,-1\} [/mm] $. Wie beachte ich das bei der Determinante?
> >
> > Zur c)
> > Da hab ich jetz folgenden grausigen Term und weiß nicht
> > weiter:
> >
> > [mm]\begin{vmatrix} a+1-\lambda & 1 & 1\\
1 & 1-\lambda & 1\\
a & 1 & a-\lambda \end{vmatrix}[/mm]
>
> >
> > =
> >
> [mm]-2a\lambda+2\lambda^{2}-\lambda^{3}+2a\lambda^{2}-a+\lambda+a^{2}-a^{2}\lambda[/mm]
> >
>
> rechne hier zur Sicherheit nochmal nach. Ich habe fast das
> gleiche heraus:
>
> [mm]-\lambda^3+2(a+1)\lamda^2-(a^2+a+1)\lambda+a^2-a[/mm]
>
> d.h., der Koeffizient von [mm]a\lambda^2[/mm] ist bei mir anders.
>
> Leider muss ich los, ich hatte gehofft, dass man da
> irgendwie die 'schnelle Faktorisierung' sieht, aber die
> zündende Idee hatte ich noch nicht.
>
> Ich stelle daher mal auf 'teilweise beantwortet'. Prüfe
> aber dein charakteristisches Polynom zur Sicherheit
> nochmal, bevor weitergerechnet wird.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Hab das Polynom jetzt noch zweimal berechnet, komme immer auf mein Ergebnis von vorhin:
[mm] $-\lambda^{3}+\lambda+a(a-1)+2(a+1)\lambda^{2}-a(a+2)\lambda$
[/mm]
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Hallo,
du hast ja die Determinante aus a), nutze det [mm] (A^{-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{detA}
[/mm]
also wäre das [mm] \bruch{1}{a(a-1)} \forall a\in\IR [/mm] \ {0,1}
Die letzte Aufgabe lässt sich auch ohne Diagonalisierung mit Rechenregeln für Determinanten lösen.
Gruß helicopter
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Vielen Dank!
Ich neige meistens dazu mit Kanonen auf Spatzen zu schießen :)
det(2011A) = [mm] 2011^{3} \times [/mm] a(a-1)
und
[mm] det(A^{2011} [/mm] )= [mm] det(A)^{2011} [/mm] = [mm] (a(a-1))^{2011}
[/mm]
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