Matrix + Ableitung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:05 Di 18.01.2005 | | Autor: | Marsei |
Ich habe auf meinem Lin. Al. Zettel folgende Aufgabe:
Seien für i,j = 1,...,n diffrenzierbare Funktionen [mm] a_{ij} [/mm] mit [mm] a_{ij} [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] gegeben. Es sei D definiert durch D: t [mm] \mapsto [/mm] det [mm] (a_{ij} [/mm] (t)) , t [mm] \in \IR [/mm] z.z.:
D'(t) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] det [mm] \pmat{ a_{1,1}(t) & ... & a_{1,k-1}(t) & a'_{1,k}(t) & a_{1,k+1}(t) & ... & a_{1,n}(t) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1}(t) & ... & a_{n,k-1}(t) & a'_{n,k}(t) & a_{n,k+1}(t) & ... & a_{n,n}(t)}
[/mm]
verstehe ich das richtig, dass erst die erste Spalte abgelitten wird, dann von der enstehenden Matrix die det berechnet wird, danach die zweite Spalte mit det Berechnung usw usw und die ganzen dets aufsummiert werden? und ich soll zeigen, dass
D'(t) = det [mm] \pmat{ a'_{1,1}(t) & ... & a'_{1,k-1}(t) & a'_{1,k}(t) & a'_{1,k+1}(t) & ... & a'_{1,n}(t) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a'_{n,1}(t) & ... & a'_{n,k-1}(t) & a'_{n,k}(t) & a'_{n,k+1}(t) & ... & a'_{n,n}(t)}
[/mm]
=
D'(t) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] det [mm] \pmat{ a_{1,1}(t) & ... & a_{1,k-1}(t) & a'_{1,k}(t) & a_{1,k+1}(t) & ... & a_{1,n}(t) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1}(t) & ... & a_{n,k-1}(t) & a'_{n,k}(t) & a_{n,k+1}(t) & ... & a_{n,n}(t)}
[/mm]
ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Di 18.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Marsei
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe auf meinem Lin. Al. Zettel folgende Aufgabe:
>
> Seien für i,j = 1,...,n diffrenzierbare Funktionen [mm]a_{ij}[/mm]
> mit [mm]a_{ij}[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] gegeben. Es sei D definiert
> durch D: t [mm]\mapsto[/mm] det [mm](a_{ij}[/mm] (t)) , t [mm]\in \IR[/mm] z.z.:
> D'(t) = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] det [mm]\pmat{ a_{1,1}(t) & ... & a_{1,k-1}(t) & a'_{1,k}(t) & a_{1,k+1}(t) & ... & a_{1,n}(t) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n,1}(t) & ... & a_{n,k-1}(t) & a'_{n,k}(t) & a_{n,k+1}(t) & ... & a_{n,n}(t)}
[/mm]
>
> verstehe ich das richtig, dass erst die erste Spalte
> abgelitten wird, dann von der enstehenden Matrix die det
> berechnet wird, danach die zweite Spalte mit det
> Berechnung usw usw und die ganzen dets aufsummiert werden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das siehst du richtig! 
> und ich soll zeigen, dass
> D'(t) = det [mm]\pmat{ a'_{1,1}(t) & ... & a'_{1,k-1}(t) & a'_{1,k}(t) & a'_{1,k+1}(t) & ... & a'_{1,n}(t) \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a'_{n,1}(t) & ... & a'_{n,k-1}(t) & a'_{n,k}(t) & a'_{n,k+1}(t) & ... & a'_{n,n}(t)}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, da unterstellst du etwas! Die von dir unterstellte Gleichung (neben der Tatsache, dass darin der Index k nichts mehr verloren hat) stimmt nicht! D'(t) ist nicht so definiert!
Ich mache ein einfaches Beispiel, um das etwas zu beleuchten:
Sei die gegebene Matrix diese:
[mm] $\pmat{t^3&t^2\\1&t}$
[/mm]
Dann ist D die Determinante davon:
[mm] $D=t^4-t^2$
[/mm]
und somit
[mm] $D'(t)=4t^3-2t$
[/mm]
Die Behauptung ist jetzt:
[mm] $D'(t)=\vmat{3t^2&t^2\\0&t}+\vmat{t^3&2t\\1&1}=3t^3+t^3-2t=4t^3-2t$
[/mm]
Was offensichtlich stimmt!
Du hast aber $D'(t)_$ so interpretiert:
[mm] $D'(t)=\vmat{3t^2&2t\\0&1}=3t^2$
[/mm]
was aber augenscheinlich nicht das selbe wie oben ist!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 18.01.2005 | | Autor: | Marsei |
also ich habe mir die aufgabe angeguckt nur weiß ich nicht ob mein ansatz richtig ist, danke schon mal im vorraus für die antwort ;)
Sei [mm] a_{ij} \in M_{nxn} [/mm] (K) und bezeichne [mm] S_{i} [/mm] einen Spaltenvektor von [mm] a_{ij} \Rightarrow a_{ij} [/mm] = [mm] (S_{1} [/mm] ... [mm] S_{n}) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] D: t [mm] \mapsto [/mm] det [mm] (S_{1}(t) [/mm] ... [mm] S_{n}(t)) [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
z.z.:
D': t [mm] \mapsto \summe_{k=1}^{n} [/mm] det [mm] (S_{1}(t) [/mm] ... [mm] S_{k-1}(t) [/mm] S'_{k}(t) [mm] S_{k+1}(t) [/mm] ... [mm] S_{n}(t)) [/mm]
beweis:
Mit Hilfe der Linearität der Determinanten kann ich D' noch etwas umformen:
D' = det [mm] (S'_{1}(t)+(n-1)S_{1}(t) [/mm] ... [mm] S'_{n}(t)+(n-1)S_{n}(t)) [/mm]
= det [mm] (S'_{1}(t)...S'_{n}(t))+(n-1)det(S_{1}(t)...S_{n}(t))
[/mm]
irgenwie riecht das jetzt stark nach einer voll. Induktion, aber null Plan ob das richtig ist.
IA: n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] D= det [mm] (a_{11}(t)) \Rightarrow [/mm] D'=det (a'_{11}(t))
passt also.
IV: Sei IA für beliebiges aber festes n richtig
IB: D': t [mm] \mapsto \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] det [mm] (S_{1}(t) [/mm] ... [mm] S_{k-1}(t) [/mm] S'_{k}(t) [mm] S_{k+1}(t) [/mm] ... [mm] S_{n+1}(t)) [/mm]
und jetzt haperts etwas bei mir ....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Marsei
> also ich habe mir die aufgabe angeguckt nur weiß ich nicht
> ob mein ansatz richtig ist, danke schon mal im vorraus für
> die antwort ;)
>
> Sei [mm]a_{ij} \in M_{nxn}[/mm] (K) und bezeichne [mm]S_{i}[/mm] einen
> Spaltenvektor von [mm]a_{ij} \Rightarrow a_{ij}[/mm] = [mm](S_{1}[/mm] ...
> [mm]S_{n})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] D: t [mm]\mapsto[/mm] det [mm](S_{1}(t)[/mm] ... [mm]S_{n}(t))[/mm] t [mm]\in \IR
[/mm]
>
> z.z.:
> D': t [mm]\mapsto \summe_{k=1}^{n}[/mm] det [mm](S_{1}(t)[/mm] ...
> [mm]S_{k-1}(t)[/mm] S'_{k}(t) [mm]S_{k+1}(t)[/mm] ... [mm]S_{n}(t))[/mm]
>
> beweis:
> Mit Hilfe der Linearität der Determinanten kann ich D'
> noch etwas umformen:
> D' = det [mm](S'_{1}(t)+(n-1)S_{1}(t)[/mm] ...
> [mm]S'_{n}(t)+(n-1)S_{n}(t))[/mm]
> = det
> [mm](S'_{1}(t)...S'_{n}(t))+(n-1)det(S_{1}(t)...S_{n}(t))
[/mm]
Das glaube ich nicht! Ich denke, du solltest die Linearität der Determinanten nochmals anschauen.
Offenbar hast du benutzt:
[mm] $\det(A) [/mm] + [mm] \det(B) [/mm] = [mm] \det(A+B)$
[/mm]
was aber falsch ist!
Ein Beispiel:
$A = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }$
[/mm]
$B = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 }$
[/mm]
$A+B = [mm] \pmat{ 5 & 2 \\ 2 & 5 }$
[/mm]
[mm] $\det(A)=3$
[/mm]
[mm] $\det(B)=8$
[/mm]
[mm] $\det(A+B)=21$
[/mm]
Aber
[mm] $\det(A) [/mm] + [mm] \det(B) [/mm] = 11$
Da muss also ein anderer Ansatz her!
Ich habe im Moment etwas wenig Zeit, aber ich würde es einfach über die Definition der Determinante versuchen, diese Ableiten und umsortieren und hoffen, dass es auf die behauptete Form gebracht werden kann.
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
