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| Aufgabe | In einem hypothetischen Staat gibt es drei Städte A, B C, deren (bedauernswerte) Einwohner am Ende jeden Jahres in eine der anderen Städte übersiedeln müssen und zwar zu je 50% in eine der in Frage kommenden Städte. Die ursprüngliche Verteilung der Einwohner auf die Städte sei im Vektor p zusammengefaßt.
a) Finden Sie eine Matrix T, so dass [mm] p^{1} [/mm] = [mm] T_P [/mm] die Verteilung der Einwohnerzahl auf die Städte nach dem ersten Umzug angibt!
b) Durch wiederholte Anwendung von T erhält man dann [mm] p^{2}, p^{3} [/mm] ... die Einwohnerzahlen nach zwei, drei usw. Umzügen. Berechnen Sie [mm] p^{1}, p^{2} [/mm] und [mm] p^{3} [/mm] für den Vektor der Einwohnerzahlen p, [mm] p^{T} [/mm] = (900 3000 12000)! |
Hallo an alle,
eine sehr sehr hypothetische Aufgabe, naja??
Ich denke in A wohnen 900 Einwohner, in B wohnen 3000 und in C wohnen 12000. Jetzt ziehen um 450 von A nach B, 1500 von B nach C und 6000 von C nach A, somit wohnen in A 6450, in B 1950 und in C 7500, was passiert aber, wenn die Personen in andere Städt umziehen, das ist ja nicht fest vorgegeben. Wie ich eine Matrix aufstellen soll, ist mir absolut schleierhaft, wer hat eine solche Aufgabe schon einmal gerechnet?
Zwinkerlippe
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Hallo!
Nun, du hast am Anfang die Einwohnerzahlen
[mm] $\vec p^0=\vektor{p^0_A \\ p^0_B \\p^0_C}$
[/mm]
Nach dem Umzug bestehen die neuen Einwohnerzahlen aus einer Mischung der alten:
[mm] $\vec p^1=\vektor{p^1_A \\ p^1_B \\p^1_C}=\vektor{\frac{1}{2}p^0_B+\frac{1}{2}p^0_C) \\ \frac{1}{2}p^0_A+\frac{1}{2}p^0_C \\ \frac{1}{2}p^0_A+\frac{1}{2}p^0_B}$
[/mm]
[mm] $\vec p^1=A \vec p^0$
[/mm]
Kannst du daraus die gesuchte Matrix A herleiten?
Du siehst, in jeder Stadt beträgt der Bruchteil der Einwohner aus den anderen URSPRÜNGLICHEN STädten 1/2.
Hast du nun die Matrix und berechnest
[mm] $\vec p^3=A^3 \vec p^0$
[/mm]
weißt du, wie groß die Bruchteile nach drei Jahren sind - und zwar auch die Bruchteile der URSPRÜNGLICHEN Bevölkerung.
Am Ende kannst du die gegebenen Zahlen einsetzen, und kannst so ausrechnen, wie viele Leute in welcher Stadt nach 3 Jahren leben, und wieviele Ureinwohner aus den drei Städten darunter sind.
Ach so, wenn dir das zu hypothetisch ist, hier ein anderes Beispiel, das genauso gerechnet werden kann, wenngleich die Matrix etwas anders aussieht:
Du hast ein Glas mit 1l Wasser, eins mit 1l Alkohol. Von dem einen Glas wird nun 0,5l in das andere gekippt, danach wird aus dem anderen wieder 0,5 l zurück gekippt, sodaß beide Gläser wieder 1l haben.
Wieviel Alkohol ist in den beiden Gläsern nach ein, zwei oder drei solcher Panschereien?
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Danke Event Horizon,
danke für deine ausführliche Erklärung, jetzt erkenne ich auch den mathematischen Sinn, ich hatte glaube einen Fehler in meiner 1. Überlegung, es bedeutet also, von den 300 Einwohnern in A ziehen 150 nach B und 150 nach C, ebnenso von den 3000 Einwohnern in B ziehen 1500 nach A und 1500 nach C, ebnso bei C.
Urzustand:
A: 900
B: 3000
C: 12000
1. Umzug:
A: 7500
B: 6450
C: 1950
2. Umzug:
A: 4200
B: 4725
C: 6975
ich würde mal spontan vermuten, nach soundsoviel Umzügen sind die Einwohnerzahlen in allen drei Städten gleich.
[mm] \vektor{p_A \\ p_B \\ p_C} [/mm] Urzustand
= [mm] \vektor{\bruch{1}{2}p_B+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_B} [/mm] nach erstem Umzug
= [mm] \vektor{\bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{4}p_B+\bruch{1}{4}p_C \\ \bruch{1}{4}p_A+\bruch{1}{2}p_B+\bruch{1}{4}p_C \\ \bruch{1}{4}p_A+\bruch{1}{4}p_B+\bruch{1}{2}p_C} [/mm] nach zweitem Umzug
= [mm] \vektor{\bruch{1}{4}p_A+\bruch{3}{8}p_B+\bruch{3}{8}p_C \\ \bruch{3}{8}p_A+\bruch{1}{4}p_B+\bruch{3}{8}p_C \\ \bruch{3}{8}p_A+\bruch{3}{8}p_B+\bruch{1}{4}p_C} [/mm] nach drittem Umzug
somit wohnen
[mm] \vektor{5850 \\ 5587,5 \\ 4462,5}
[/mm]
sollte das die Lösung sein (??), rein mathematisch stimmt sie, ich habe wieder meine 15900 Einwohner, auch wenn es zwei halbe sind, naja, es ist doch nur Bruchrechnung, aufgeschrieben in einer anderen Form, oder ist noch Weiteres zu tun?
Als Zusatz ist eine Vektorfolge gesucht nach k Umzügen (werde mal versuchen, eine Gesetzmäßigkeit zu finden) und die Berechnung des Grenzwertes, ich hatte ja schon die Vermutung geäußert, nach k Umzügen wohnen in jeder Stadt 5300 Einwohner.
Zwinkerlippe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch die Matrix T angeben die von 1 nach 2 geht und dann diese wiederholt anwenden, also [mm] T^n [/mm] ausrechnen ,
Gruss leduart
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Guten Abend
bedeutet das ich muß eine Matrix T finden, für die gilt:
[mm] \vektor{p_A \\ p_B \\ p_C} [/mm] * T = [mm] \vektor{\bruch{1}{2}p_B+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_B}
[/mm]
Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, ausser dass T vor dem Vektor stehen muss.
Gruss leduart
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An alle eifrigen Fans im matheraum,
ist das die gesuchte Matrix: [mm] T=\pmat{ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & 0}?
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{p_A \\ p_B \\ p_C} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2}p_B+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_C \\ \bruch{1}{2}p_A+\bruch{1}{2}p_B} [/mm] sollte jetzt stimmen?
Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mi 04.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig!!!!!!!!!!!!!!!!
und jetzt 2 mal und 3 mal anwenden, oder [mm] T^2,T^3 [/mm] bilden!
dann sieht man schon was [mm] T^n [/mm] wird.
Gruss leduart
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Guten Morgen und recht herzliche Dank an leduart, ich habe gestern Abend noch gelesen, habe aber jetzt erst weiter gemacht:
[mm] T^{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}& \bruch{1}{2} & 0}
[/mm]
[mm] T^{2} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{2}{4} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & \bruch{2}{4} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4}& \bruch{1}{4} & \bruch{2}{4}}
[/mm]
[mm] T^{3} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{2}{8} & \bruch{3}{8} & \bruch{3}{8} \\ \bruch{3}{8} & \bruch{2}{8} & \bruch{3}{8} \\ \bruch{3}{8}& \bruch{3}{8} & \bruch{2}{8}}
[/mm]
[mm] T^{4} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{6}{16} & \bruch{5}{16} & \bruch{5}{16} \\ \bruch{5}{16} & \bruch{6}{16} & \bruch{5}{16} \\ \bruch{5}{16}& \bruch{5}{16} & \bruch{6}{16}}
[/mm]
[mm] T^{5} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{10}{32} & \bruch{11}{32} & \bruch{11}{32} \\ \bruch{11}{32} & \bruch{10}{32} & \bruch{11}{32} \\ \bruch{11}{32}& \bruch{11}{32} & \bruch{10}{32}}
[/mm]
Jetzt möchte ich noch die Matrix [mm] T^{n} [/mm] finden, ich habe erkannt, in allen Nennern steht [mm] 2^{n}, [/mm] für die Bildungsvorschrift der Zähler habe ich gefunden, für die Diagonale: mal 2 plus 2, dann mal 2 minus 2, das wechselt sich immer ab, für alle anderen Glieder: mal 2 minus 1, dann mal 2 plus 1, das wechselt sich auch immer ab.
Schön wäre es, ich bekomme noch Hinweise, wie sieht [mm] T^{n} [/mm] aus, Danke Zwinkerlippe
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Hallo!
Das interessiert mich jetzt aber auch.
Du kannst erstmal den Faktor [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] vor die Matrix ziehen, das wird dann übersichtlicher.
Jetzt schaun wir und die Diagonale mal an:
$0$
$0*2+2$
[mm] $(0*2+2)*2-2=0*2^2+2^2-2=2$ [/mm] (Was ist an dieser Formel falsch?)
[mm] $((0*2+2)*2-2)*2+2=0*2^3 +2^3 -2^2+ [/mm] 2=6$
[mm] $(((0*2+2)*2-2)*2-2)*2+2=0*2^4+2^4-2^3+2^2-2$
[/mm]
... und in der nten Zeile:
[mm] $=0*2^{n-1}+2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}...$
[/mm]
Lassen wir mal die 0 weg:
[mm] $=2^{n-1}-2^{n-2}+2^{n-3}...$
[/mm]
Wenn man jetzt wieder das [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] mit reinzieht, wird daraus:
[mm] $=2^{-1}-2^{-2}+2^{-3}...$
[/mm]
Und um das Minus weg zu bekommen:
[mm] $=-[(-2)^{-1}+(-2)^{-2}+(-2)^{-3}...]$
[/mm]
Das ist ne geometrische Reihe, die sich sicherlich lösen läßt.
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