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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade
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Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Di 20.02.2024
Autor: Tobbs

Ich habe folgende Ebenengleichung:

[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}. [/mm]

Wie bestimme ich jetzt einen Punkt in dieser Ebene mit:

[mm] \vektor{1,5 \\ 1 \\ ?}. [/mm]

Zu berechnen wären also [mm] \lambda, \mu [/mm] und das ?

Aber wie? Geht das elegant mit Lösungen linearer Gleichungen (Matrizen) oder müsste man das 'zu Fuß' machen, also einzeln auflösen und einsetzen ..?

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: beides möglich
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Di 20.02.2024
Autor: Loddar

Hallo Tobbs,

[willkommenmr] !!

Mit den ersten beiden Zeilen aus der Ebenengleichung (x- bzw. y-Koordinate) kannst Du zwei (lineare) Gleichungen aufstellen und damit [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] ermitteln.

Das eingesetzt in die 3. Zeile (z-Koordinate) ergibt Dein gesuchtes [mm] $z_P$ [/mm] .


Aber auch ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen und den 3 Unbekannten - umgeschrieben in eine Matrix - lässt sich hier schnell aufstellen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Di 20.02.2024
Autor: Tobbs

Ähm, danke, aber wie müsste denn die Matrix bzw. das lineare Gleichungssystem ausschauen?

Bezug
                        
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: Gleichungssystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Di 20.02.2024
Autor: Loddar

Hallo Tobbs!


Es gilt ja bzw. soll gelten: [mm] $\vektor{1{,}5 \\ 1 \\ z_P } [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda* \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}$ [/mm]

Daraus folgt: [mm] $\vektor{0{,}5 \\ 1 \\ z_P-3 } [/mm] \ = [mm] \  \lambda* \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}$ [/mm]

Somit ergeben sich als Gleichungen:

$0{,}5 \ = \ [mm] \lambda*(-1)+\mu*1$ [/mm]
$1 \ = \ [mm] \lambda*2+\mu*2$ [/mm]
[mm] $z_P-3 [/mm] \ = \ [mm] \lambda*(-2)+\mu*1$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Di 20.02.2024
Autor: Tobbs

Vielen Dank!
Aber ich steh immer noch auf'm Schlauch :(

Was müsste ich denn jetzt in diesen []Matrix calculator eintragen, um [mm] z_{p}, \lambda [/mm]  und [mm] \mu [/mm] zu ermitteln?

Bezug
                                        
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: zu Fuß rechnen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Di 20.02.2024
Autor: Loddar

Hallo Tobbs,

echt jetzt: dieses Gleichungssystem sollte sich doch schnell "zu Fuß" bzw. per Hand lösen lassen.


Wenn Du das aber unbedingt über diesen Online Calculator machen willst, musst Du wohl erst wie folgt umformen:

$ [mm] \vektor{0{,}5 \\ 1 \\ z_P-3 } [/mm] \ = [mm] \  \lambda\cdot{} \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu\cdot{}\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $

[mm] $\lambda\cdot{} \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu\cdot{}\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1} +z_P*\vektor{0 \\ 0 \\ -1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0{,}5 \\ 1 \\ -3 }$ [/mm]

Das sollte sich ja jetzt schnell übertragen lassen ...


Gruß
Loddar

Bezug
                                                
Bezug
Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:52 Di 20.02.2024
Autor: Tobbs

Vielen, vielen Dank! Das funktioniert!!

Bezug
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