Massenträgheitsmoment Pyramide < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 09.08.2005 | | Autor: | micha_77 |
Ich versuche gerade das Massenträgheitsmoment (um eine Schwerachse) einer regelmäßigen Pyramide mit achtseitiger Grundfläche zu bestimmen. Hinzu kommt, dass die Pyramide hohl ist.
Ich denke zu wissen, dass ich das Massenträgheitsmoment der "inneren" von dem der Gesamtpyramide abziehe, und so zu dem Moment meiner hohlen Pyramide zu kommen.
Ich habe allerdings nur die Formeln für das Trägheitsmoment einer Pyramide über einer rechteckigen Grundfläche. Habe auch schon Formeln gefunden, die einen allgemeinen Integralansatz für das Massenträgheitsmoment starrer Körper liefern. Gibt es vielleicht einen einfacheren Weg als den?
freundlichste Grüße
Michael
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/31695,0.html
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 09.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Micha
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
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> Ich denke zu wissen, dass ich das Massenträgheitsmoment
> der "inneren" von dem der Gesamtpyramide abziehe, und so zu
> dem Moment meiner hohlen Pyramide zu kommen.
richtig, wenn du eine formel mit der Dichte und nicht mit der Gesamtmasse benutzt.
> Ich habe allerdings nur die Formeln für das Trägheitsmoment
> einer Pyramide über einer rechteckigen Grundfläche. Habe
> auch schon Formeln gefunden, die einen allgemeinen
> Integralansatz für das Massenträgheitsmoment starrer Körper
> liefern. Gibt es vielleicht einen einfacheren Weg als den?
Im Prinzip musst du die allgemeine Formel verwenden. Nur die kannst du dann etwas vereinfachen!
2 Möglichkeiten die ich sehe: 1. du vergrößerst deine Pyramide zu einer quadratischen, die du kannst, und ziehst die zusatlichen Trägheitsmomente der 4 Zusatzteile ab. Die sind aber ziemlich kompliziert.
2. du berechnest eine der 8 "Pyramiden" mit 3-eckiger Grundfläche, deren eine Kante auf der Achse liegt, und multiplizierst dann mit 8. Das scheint mir der einfachere Weg. zuerst brauchst du dazu das Trägheitsmoment eines dünnen Dreiecks mit Drehachse beim Winkel 45°. Dazu würde ich das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes nehmen, und mir das Dreieck aus solchen Stäben zusammengesetzt denken, die Länge der Stäbe wächst mit dem Abstand von der Achse und mit dem Steinerschen Satz wächst das Trägheitsmoment zusätzlich. Ein Stab, Länge l, Achse in der Mitte hat das Trägheitsmoment dT= [mm] \bruch{1}{12}*l^{3}*\rho*da*dh [/mm] (da=Breite, dh=Höhe ) dazu kommt (Steiner!) noch
[mm] m*a^{2} m=\rho*l*da*dh; [/mm] a=Abstand von der Achse. [mm] dT=\bruch{1}{12}*l^{3}*\rho*da*dh +\rho*l*a^{2}da*dh [/mm] nun l(a) bestimmen und dann über a integrieren.
danach a(h) bestimmen und über h integrieren.
Ich hoff, das ist einigermassen klar, sonst frag zurück, oder erzähl welche Tägheitsmomente ihr sonst bestimmt habt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 10.08.2005 | | Autor: | micha_77 |
Hallo leduart,
erst einmal vielen Dank für die Lösungsidee!!!!! Ich denke, ich habe den Rechenweg verstanden und werde mich gleich an die Lösung der Aufgabe machen.
Eine Rückfrage habe ich noch: Woher kommt bei der Berechnung des Massenträgheitsmoments des dünnen Stabes der Faktor [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ? Ich dachte er wäre [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
Bis dahin,
freundliche Grüße
Micha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 12.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo micha
Du hast natürlich recht, die 4 ist aus Versehen in den Zähler statt in den Nenner geraten! Ich werds in meinem posting verbessern, damit kein anderer darüber stolpert.
Viel erfolg mit der Rechnerei!
Gruss leduart
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