Maße eines Kreiszylinders < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Maße (Durchmesser und Höhe) des Kreiszylinders, der bei einem Volumen von [mm] 1000cm^3 [/mm] die kleinste Gesamtoberfläche besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, vorab muss ich fragen ob die Aufgabe in der richtigen Kategorie steht?! Leider habe ich keinen blassen schimmer, wie ich da voran gehen muß und wie ich zu einer erfolgreichen Lösung komme! Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte! Gruß Bobby
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> Bestimmen Sie die Maße (Durchmesser und Höhe) des
> Kreiszylinders, der bei einem Volumen von [mm]1000cm^3[/mm] die
> kleinste Gesamtoberfläche besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, vorab muss ich fragen ob die Aufgabe in der
> richtigen Kategorie steht?!
Eher nicht "Hochschule": es handelt sich um eine recht einfache Extremwertaufgabe.
>Leider habe ich keinen blassen
> schimmer, wie ich da voran gehen muß und wie ich zu einer
> erfolgreichen Lösung komme! Würde mich freuen wenn mir
> jemand helfen könnte!
Ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des gesuchten Zylinders, so muss wegen der Volumenbedingung (sog. "Nebenbedingung") gelten [mm] $\pi r^2 [/mm] h=1000$ (cm$^3$). Es soll die Zielfunktion [mm] $O(r,h)=2\pi r^2+2\pi [/mm] r h$ (=Oberfläche eines Kreiszylinders mit den Abmessungen $r, h$) minimal gemacht werden.
Auflösen der Nebenbedingung nach $h$ und Einsetzen in $O(r,h)$ ergibt $O(r)$ d.h. die Oberfläche als Funktion des Radius $r$ alleine. Dann verwendest Du Differentialrechnung, um die Minimalstelle dieser Funktion $O(r)$ zu bestimmen. Ist $r$ bestimmt, setzt Du diesen Wert von $r$ in die nach $h$ aufgelöste Nebenbedingung ein: ergibt den zugehörigen Wert von $h$.
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