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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] A_{1},A_{2},... [/mm] eine Folge messbarer Teilmengen von X mit
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})<\infty.
[/mm]
Zeigen Sie
[mm] \mu(limsupA_{n})=0. [/mm] |
Hallo!
Ich habe erstmal damit angefangen, die Definition des limsup einzusetzen:
[mm] \mu(limsupA_{n})=\mu(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m \ge n}^{}A_{m})
[/mm]
Jetzt habe ich mir gedacht, dass man den Term mit den Rechenregeln für Maße irgendwie umformen kann, so dass man dann auf 0 kommt. Komme aber dabei leider nicht weiter. Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen.
Viele Grüße,
SoB.DarkAngel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm](X,\mathcal{A},\mu)[/mm] ein Maßraum und [mm]A_{1},A_{2},...[/mm]
> eine Folge messbarer Teilmengen von X mit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})<\infty.[/mm]
> Zeigen Sie
> [mm]\mu(limsupA_{n})=0.[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe erstmal damit angefangen, die Definition des
> limsup einzusetzen:
> [mm]\mu(limsupA_{n})=\mu(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m \ge n}^{}A_{m})[/mm]
Benuzte: Fuer jedes [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] ist [mm] $\mu(\bigcap_{n\in\IN}^{}\bigcup_{m \ge n}^{}A_{m}) \le \mu(\bigcup_{m \ge n_0}^{}A_{m})$, [/mm] und [mm] $\mu(\bigcup_{m \ge n_0}^{}A_{m}) \le \sum_{n \ge n_0} \mu(A_m)$.
[/mm]
Jetzt schau dir mal an, was es heisst, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty x_n [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist fuer eine Folge von nicht-negativen reellen Zahlen [mm] $x_n$. [/mm] Insbesondere was es fuer [mm] $\sum_{n=k}^\infty x_n$ [/mm] bedeutet fuer $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
LG Felix
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Ist [mm] \summe_{m \ge n_{0} }^{}\mu(A_{m}) [/mm] dann schon =0 wegen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})<\infty [/mm] (ich verstehe nicht so ganz, was das bedeutet) ? Und weil das Maß nur Werte annimmt, die [mm] \ge [/mm] 0 sind, kann nur Gleichheit gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist [mm]\summe_{m \ge n_{0} }^{}\mu(A_{m})[/mm] dann schon =0 wegen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n})<\infty[/mm] (ich verstehe nicht
> so ganz, was das bedeutet) ?
Nein. Es kann sein dass das immer echt groesser als Null ist. Aber es wird beliebig klein. (Benutze folgendes: Eine reelle Zahl $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit der Eigenschaft, dass $x < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist fuer jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, ist bereits gleich Null.)
LG Felix
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