Maß abzählbare Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 09.01.2014 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega$ [/mm] eine Menge.
Zeigen Sie, dass ein Maß [mm] $\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] derart existiert, dass [mm] $\mu(A)=0$ [/mm] genau dann gilt, wenn $A$ eine höchstens abzählbare Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] ist. |
Hallo :)
ich sitze gerade an der Aufgabe und habe mir einige Gedanken dazu gemacht:
Betrachten wir das Maß [mm] $\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ 1 &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}$.
[/mm]
Dann hätten wir jetzt ja 2 Fälle:
1.Fall [mm] $\Omega$ [/mm] abzählbar
2.Fall [mm] $\Omega$ [/mm] überabzählbar
1. Wenn [mm] $\Omga$ [/mm] schon abzählbar, dann auch jedes [mm] $A\in\mathcal{P}(\Omega)$, [/mm] also [mm] $\mu(A)=0\Leftrightarrow A\subset\Omega$ [/mm] (abzählbar)
Dass [mm] $\mu$ [/mm] hier Maß ist, ist ja trivial, da [mm] $\emptyset$ [/mm] abzählbar, da endlich und abzählbare Vereinigung abzählbarer Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] natürlich wieder abzählbar und somit für [mm] $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] folgt [mm] $\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$
[/mm]
2. Fall:
Wir untersuchen wieder ob [mm] $\mu$ [/mm] Maß ist:
[mm] $\mu(\emptyset)=0$ [/mm] klar.
(i) [mm] $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] (paarw. disjunkt) mit [mm] $A_n$ [/mm] abzählbar.
Dann auch [mm] $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n$ [/mm] abzählbar und somit:
[mm] $\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$
[/mm]
[mm] (ii)$(A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] (paarw. disjunkt) mit [mm] $A_n$ [/mm] überabzählbar.
Dann auch [mm] $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n$ [/mm] überabzählbar
aber hier komme ich nicht wirklich weiter.
Stimmt hier mein Ansatz?
Und wenn ja, würde ich mich um Hilfe beim 2 Fall freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
HugATree
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge.
>
> Zeigen Sie, dass ein Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> derart existiert, dass [mm]\mu(A)=0[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]A[/mm]
> eine höchstens abzählbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
> Hallo :)
>
> ich sitze gerade an der Aufgabe und habe mir einige
> Gedanken dazu gemacht:
>
> Betrachten wir das Maß [mm]\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ 1 &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}[/mm].
Dieses [mm] \mu [/mm] ist i.a. kein Maß auf [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] !!
Nimm [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] und [mm] A_n:=(n-1,n) [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann ist [mm] \mu(A_n)=1 [/mm] für jedes n, also
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)= \infty.
[/mm]
Aber wir haben [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=(0, \infty) [/mm] und somit
[mm] \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=1.
[/mm]
Dein [mm] \mu [/mm] ist also nicht [mm] \sigma [/mm] - additiv.
Probiers mal mit
$ [mm] \mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ \infty &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases} [/mm] $
FRED
>
> Dann hätten wir jetzt ja 2 Fälle:
>
> 1.Fall [mm]\Omega[/mm] abzählbar
> 2.Fall [mm]\Omega[/mm] überabzählbar
>
> 1. Wenn [mm]\Omga[/mm] schon abzählbar, dann auch jedes
> [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm], also [mm]\mu(A)=0\Leftrightarrow A\subset\Omega[/mm]
> (abzählbar)
>
> Dass [mm]\mu[/mm] hier Maß ist, ist ja trivial, da [mm]\emptyset[/mm]
> abzählbar, da endlich und abzählbare Vereinigung
> abzählbarer Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] natürlich wieder
> abzählbar und somit für
> [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm] folgt
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
>
>
>
> 2. Fall:
>
> Wir untersuchen wieder ob [mm]\mu[/mm] Maß ist:
>
> [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] klar.
>
> (i) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] abzählbar.
> Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm] abzählbar
> und somit:
>
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
>
> (ii)[mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] überabzählbar.
> Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> überabzählbar
> aber hier komme ich nicht wirklich weiter.
>
> Stimmt hier mein Ansatz?
> Und wenn ja, würde ich mich um Hilfe beim 2 Fall freuen.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> HugATree
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 09.01.2014 | | Autor: | HugATree |
> > Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge.
> >
> > Zeigen Sie, dass ein Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > derart existiert, dass [mm]\mu(A)=0[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]A[/mm]
> > eine höchstens abzählbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
> > Hallo :)
> >
> > ich sitze gerade an der Aufgabe und habe mir einige
> > Gedanken dazu gemacht:
> >
> > Betrachten wir das Maß [mm]\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ 1 &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}[/mm].
>
> Dieses [mm]\mu[/mm] ist i.a. kein Maß auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] !!
>
> Nimm [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IR[/mm] und [mm]A_n:=(n-1,n)[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Dann ist [mm]\mu(A_n)=1[/mm] für jedes n, also
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)= \infty.[/mm]
>
> Aber wir haben [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=(0, \infty)[/mm] und
> somit
>
> [mm]\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=1.[/mm]
>
> Dein [mm]\mu[/mm] ist also nicht [mm]\sigma[/mm] - additiv.
>
> Probiers mal mit
>
> [mm]\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ \infty &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}[/mm]
>
> FRED
Vielen Dank für deine Antwort FRED :)
Okay, wenn ich es mit deiner Abbildung probiere ändert sich ja am 1. Fall nichts.
Beim 2. Fall:
(ii) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
(paarw. disjunkt) und alle überabzählbar.
Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm] überabzählbar.
Somit:
[mm] $\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=\infty=\infty+\infty+...=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$
[/mm]
(iii) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
(paarw. disjunkt) und ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $A_n_0$ [/mm] überabzählbar.
Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm] überabzählbar
und somit [mm] $\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=\infty=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)$
[/mm]
Stimmt das dann so?
Vielen vielen Dank nochmal
Liebe Grüße
HugATree
> >
>
>
> >
> > Dann hätten wir jetzt ja 2 Fälle:
> >
> > 1.Fall [mm]\Omega[/mm] abzählbar
> > 2.Fall [mm]\Omega[/mm] überabzählbar
> >
> > 1. Wenn [mm]\Omga[/mm] schon abzählbar, dann auch jedes
> > [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm], also [mm]\mu(A)=0\Leftrightarrow A\subset\Omega[/mm]
> > (abzählbar)
> >
> > Dass [mm]\mu[/mm] hier Maß ist, ist ja trivial, da [mm]\emptyset[/mm]
> > abzählbar, da endlich und abzählbare Vereinigung
> > abzählbarer Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] natürlich wieder
> > abzählbar und somit für
> > [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm] folgt
> >
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
> >
> >
> >
> > 2. Fall:
> >
> > Wir untersuchen wieder ob [mm]\mu[/mm] Maß ist:
> >
> > [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] klar.
> >
> > (i) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] abzählbar.
> > Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm] abzählbar
> > und somit:
> >
> >
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
> >
> > (ii)[mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] überabzählbar.
> > Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> > überabzählbar
> > aber hier komme ich nicht wirklich weiter.
> >
> > Stimmt hier mein Ansatz?
> > Und wenn ja, würde ich mich um Hilfe beim 2 Fall
> freuen.
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > HugATree
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge.
> > >
> > > Zeigen Sie, dass ein Maß [mm]\mu[/mm] auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > > derart existiert, dass [mm]\mu(A)=0[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]A[/mm]
> > > eine höchstens abzählbare Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
> > > Hallo :)
> > >
> > > ich sitze gerade an der Aufgabe und habe mir einige
> > > Gedanken dazu gemacht:
> > >
> > > Betrachten wir das Maß [mm]\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ 1 &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}[/mm].
>
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> > Dieses [mm]\mu[/mm] ist i.a. kein Maß auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] !!
> >
> > Nimm [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IR[/mm] und [mm]A_n:=(n-1,n)[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]\mu(A_n)=1[/mm] für jedes n, also
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)= \infty.[/mm]
> >
> > Aber wir haben [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=(0, \infty)[/mm] und
> > somit
> >
> > [mm]\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=1.[/mm]
> >
> > Dein [mm]\mu[/mm] ist also nicht [mm]\sigma[/mm] - additiv.
> >
> > Probiers mal mit
> >
> > [mm]\mu:\mathcal{P}(\Omega)\to [0,\infty],\;A\mapsto\begin{cases}0&\mbox{, falls A abzählbar}\\ \infty &\mbox{, falls A überabzählbar}\end{cases}[/mm]
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> >
> > FRED
>
> Vielen Dank für deine Antwort FRED :)
>
> Okay, wenn ich es mit deiner Abbildung probiere ändert
> sich ja am 1. Fall nichts.
> Beim 2. Fall:
>
> (ii) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> (paarw. disjunkt) und alle überabzählbar.
> Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> überabzählbar.
> Somit:
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> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=\infty=\infty+\infty+...=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
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> (iii) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> (paarw. disjunkt) und ein [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]A_n_0[/mm]
> überabzählbar.
> Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> überabzählbar
> und somit
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=\infty=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
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> Stimmt das dann so?
Ja
FRED
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> Vielen vielen Dank nochmal
>
> Liebe Grüße
> HugATree
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> > > Dann hätten wir jetzt ja 2 Fälle:
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> > > 1.Fall [mm]\Omega[/mm] abzählbar
> > > 2.Fall [mm]\Omega[/mm] überabzählbar
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> > > 1. Wenn [mm]\Omga[/mm] schon abzählbar, dann auch jedes
> > > [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm], also [mm]\mu(A)=0\Leftrightarrow A\subset\Omega[/mm]
> > > (abzählbar)
> > >
> > > Dass [mm]\mu[/mm] hier Maß ist, ist ja trivial, da [mm]\emptyset[/mm]
> > > abzählbar, da endlich und abzählbare Vereinigung
> > > abzählbarer Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] natürlich wieder
> > > abzählbar und somit für
> > > [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm] folgt
> > >
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> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
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> > > 2. Fall:
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> > > Wir untersuchen wieder ob [mm]\mu[/mm] Maß ist:
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> > > [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] klar.
> > >
> > > (i) [mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > > (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] abzählbar.
> > > Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> abzählbar
> > > und somit:
> > >
> > >
> >
> [mm]\mu(\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n)=0=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\mu(A_n)[/mm]
> > >
> > > (ii)[mm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > > (paarw. disjunkt) mit [mm]A_n[/mm] überabzählbar.
> > > Dann auch [mm]\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_n[/mm]
> > > überabzählbar
> > > aber hier komme ich nicht wirklich weiter.
> > >
> > > Stimmt hier mein Ansatz?
> > > Und wenn ja, würde ich mich um Hilfe beim 2 Fall
> > freuen.
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Do 09.01.2014 | | Autor: | HugATree |
Vielen Dank :)
Du hast mir wirklich sehr geholfen!
Liebe Grüße
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