Maß, Bildmaß < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 08.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei [mm] (\IR, \mathcal{B}, \lambda^1) [/mm] der Maßraum des BL-Maßes [mm] \lambda^1. [/mm] Sei [mm] T:\IR\to\IR [/mm] eine konstante Abbildung: T(x)=c [mm] (x\in\IR)
[/mm]
für ein [mm] c\in\IR. [/mm] Bestimmen Sie das Bildmaß [mm] \lambda_{T}^1 [/mm] von [mm] \lambda^1 [/mm] unter T. Ist [mm] \lambda_{T}^1 \sigma-endlich? [/mm] |
Die Aufgabe ist vermutlich trivial, aber ich komme nicht weiter. Ich kann mir das sogar vorstellen, also dass halboffene Mengen auf eine Konstante abgebildet werden, und das das Urbild nicht alle halboffenen Mengen sind, usw., aber das war es auch schon. Allein aus den x Formeln, die ich hier habe, werde ich nicht schlau.
Falls mir jemand den Ansatz liefern kann, wäre ich sehr dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 08.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Oliver,
> Sei [mm](\IR, \mathcal{B}, \lambda^1)[/mm] der Maßraum des BL-Maßes
> [mm]\lambda^1.[/mm] Sei [mm]T:\IR\to\IR[/mm] eine konstante Abbildung: T(x)=c
> [mm](x\in\IR)[/mm]
> für ein [mm]c\in\IR.[/mm] Bestimmen Sie das Bildmaß [mm]\lambda_{T}^1[/mm]
> von [mm]\lambda^1[/mm] unter T. Ist [mm]\lambda_{T}^1 \sigma-endlich?[/mm]
> Die Aufgabe ist vermutlich trivial, aber ich komme nicht
> weiter. Ich kann mir das sogar vorstellen, also dass
> halboffene Mengen auf eine Konstante abgebildet werden,
wieso denn nur die halboffenen Mengen???
Ich fürchte hier liegt ein Mißverständnis:
Die Borelsche sigma-Algebra wird zwar vom System der halboffenen Mengen erzeugt
enthält aber viel mehr. Stell dir einfach vor, daß die Borelsche sigma-Algebra alle Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] enthält.
Das ist zwar tatsächlich nicht ganz richtig, aber es ist nicht einfach eine Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] zu finden, die nicht in [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] enthalten ist. Im Buch von Bauer findest du so eine. Aber praktische Bedeutung hat das zumindest für deine Aufgabe nicht.
> und
> das das Urbild nicht alle halboffenen Mengen sind, usw.,
> aber das war es auch schon. Allein aus den x Formeln, die
> ich hier habe, werde ich nicht schlau.
Überlege, wie das Bildmaß definiert ist und unterscheide danach, ob eine gegebene Menge c enthält oder nicht.
Schau dir dazu auch bitte diesen Thread an.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 08.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Will!
Dann habe ich wohl etwas Grundlegendes nicht verstanden :-( Egal, ich probiere es noch einmal:
Das Bildmaß [mm] \mu_{T} [/mm] ist definiert durch [mm] \mu_{T}(A') [/mm] := [mm] \mu(T^{-1}(A')) [/mm] mit [mm] (A'\in\mathcal{A}).
[/mm]
In diesem Fall ist die [mm] \sigma-Algebra [/mm] halt speziell [mm] \mathcal{B}, [/mm] also schreiben wir besser:
[mm] \mu_{T}(B') [/mm] := [mm] \mu(T^{-1}(B')) [/mm] mit [mm] (B'\in \mathcal{B}).
[/mm]
Für [mm] T^{-1} [/mm] gilt hier: [mm] T^{-1}(B')=\{x \in \IR|T(x) \in B'\} [/mm] mit [mm] (B'\in\mathcal{B})
[/mm]
Dann gilt:
$ [mm] T^{-1}(B') [/mm] = [mm] \begin{cases} \IR & \textrm{ wenn } c \in B' \\ \emptyset & \textrm{ wenn } c \not\in B' \end{cases} [/mm] $
Es folgt demnach mit der obigen Definition von [mm] \mu_{T}:
[/mm]
[mm] \mu_{T}(\emptyset) [/mm] = [mm] \mu (T^{-1}(\emptyset)) [/mm] = [mm] \mu(\emptyset) [/mm] = 0 (weil das bei Maßen so definiert ist).
Was aber ist:
[mm] \mu_{T}(\IR) [/mm] = [mm] \mu (T^{-1}(\IR)) [/mm] = [mm] \mu(\IR) [/mm] = ?
Und noch viel schwieriger: wie bekommt man jetzt den Bogen zum Borel-Lebesque-Maß mit:
[mm] \mu([a,b))=\produkt_{i=1}^{n}(b_i-a_i) [/mm] mit [mm] (a,b\in\IR^n; a\le{b}) [/mm] bzw. in diesem Fall für n=1:
[mm] \mu([a,b))=b-a [/mm] mit [mm] (a,b\in\IR)
[/mm]
Nutzt man dazu den "2. Fortsetzungssatz" (Fortsetzung nach Caratheodory)?
[mm] \nu(B) [/mm] = [mm] inf\{\summe_{i=1}^{\infty}\mu(B_i)|B\subset\summe_{i=1}^{\infty}B_i, (B_i) ist Mengenfolge aus \IR\}
[/mm]
Das verstehe ich gar nicht.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar. Ich mache das als Fernstudium, das Skript ist OK, aber es gibt bessere und mir fehlen wirklich Tutorien.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Do 08.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Oliver,
> Das Bildmaß [mm]\mu_{T}[/mm] ist definiert durch [mm]\mu_{T}(A')[/mm] := [mm]\mu(T^{-1}(A'))[/mm] mit [mm](A'\in\mathcal{A}).[/mm]
ja, genau!
> In diesem Fall ist die [mm]\sigma-Algebra[/mm] halt speziell
> [mm]\mathcal{B},[/mm] also schreiben wir besser:
> [mm]\mu_{T}(B')[/mm] := [mm]\mu(T^{-1}(B'))[/mm] mit [mm](B'\in \mathcal{B}).[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]T^{-1}(B') = \begin{cases} \IR & \textrm{ wenn } c \in B' \\ \emptyset & \textrm{ wenn } c \not\in B' \end{cases}[/mm]
ganz perfekt bis hierher. Und jetzt setze die rechte Seite dieser Gleichung oben für [mm] $T^{-1}(B')$ [/mm] ein. Das wars dann.
Was [mm] $\mu(\IR)$ [/mm] und [mm] $\mu(\emptyset)$ [/mm] sind dürfte klar sein?!
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 08.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Will!
Erst einmal danke für Rat zu so später Stunde.
> ganz perfekt bis hierher. Und jetzt setze die rechte Seite
> dieser Gleichung oben für [mm]T^{-1}(B')[/mm] ein. Das wars dann.
> Was [mm]\mu(\IR)[/mm] und [mm] \mu(\emptyset)[/mm] sind dürfte klar sein?!
Jetzt hast du mich irgendwie abgehängt, fürchte ich.
Meinst du...
$ [mm] \mu_{T}(B') [/mm] = [mm] \begin{cases} \mu(\IR) & \textrm{ wenn } c \in B' \\ \mu(\emptyset) & \textrm{ wenn } c \not\in B' \end{cases} [/mm] $
[mm] \mu(\emptyset)=0, \mu(\IR)=? [/mm] auf jeden Fall [mm] \ge0
[/mm]
Und wie kommt man dann zum Borel-Lebesque-Maß?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 08.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend Oliver,
> > ganz perfekt bis hierher. Und jetzt setze die rechte Seite
> > dieser Gleichung oben für [mm]T^{-1}(B')[/mm] ein. Das wars dann.
> > Was [mm]\mu(\IR)[/mm] und [mm]\mu(\emptyset)[/mm] sind dürfte klar
> sein?!
>
> Jetzt hast du mich irgendwie abgehängt, fürchte ich.
sieht nicht so aus.
> Meinst du...
>
> [mm]\mu_{T}(B') = \begin{cases} \mu(\IR) & \textrm{ wenn } c \in B' \\ \mu(\emptyset) & \textrm{ wenn } c \not\in B' \end{cases}[/mm]
ja, ganz genau!
> [mm]\mu(\emptyset)=0, \mu(\IR)=?[/mm] auf jeden Fall [mm]\ge0[/mm]
[mm] $\mu(\IR) [/mm] = [mm] \infty.$
[/mm]
> Und wie kommt man dann zum Borel-Lebesque-Maß?
Ich verstehe die Frage nicht ganz. [mm] $\mu$ [/mm] ist doch das BL-Maß.
Ich habe gerade noch einmal in die Augabe geschaut und gesehen, daß es dort [mm] $\lambda$ [/mm] genannt wird, also ersetze einfach alle [mm] $\mu$ [/mm] durch [mm] $\lambda$.
[/mm]
Gruß
Will
PS:LebesGue, nicht mit q. Der Schreibfehler scheint allerdings recht verbreitet zu sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Do 08.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Will!
Vielen Dank nochmals.
> [mm] \mu(\IR)=\infty
[/mm]
Letzte Frage: "Warum?" so etwas habe ich in meinem Skript leider nirgends entdecken können. Ist es so, dass das Maß von unendlichen Mengen = [mm] \infty [/mm] ist? Oder hat das etwas mit der Abzählbarkeit zu tun?
Bezüglich des BL-Maßes habe ich vermutlich wieder etwas falsch verstanden. In meinem Skript steht:
Sei [mm] \mu [/mm] der nach Beispiel 2.2.10(3) durch
[mm] \mu([a,b))=\produkt_{i=1}^{n}(b_i-a_i) [/mm] mit [mm] (a,b\in\IR^n; [/mm] a = [mm] (a_1,...,a_n) \le b=(b_1,...,b_n))
[/mm]
auf dem Halbring [mm] I^n [/mm] definierte Inhalt.
Das durch zweimalige eindeutige Fortsetzung von [mm] \mu [/mm] gewonnene Maß auf [mm] \mathcal{B}^n [/mm] - wir schreiben dafür [mm] \lambda^n [/mm] - heißt Borel-Lebesgue-Maß (BL-Maß) auf [mm] \mathcal{B}^n. [/mm] Für n = 1 setzen wir [mm] \lambda [/mm] := [mm] \lambda^1.
[/mm]
Das habe ich wohl missinterpretiert. Die beiden Fortsetzungssätze habe ich nämlich noch nicht durchblickt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Fr 09.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Oliver,
> > [mm]\mu(\IR)=\infty[/mm]
>
> Letzte Frage: "Warum?" so etwas habe ich in meinem Skript
> leider nirgends entdecken können. Ist es so, dass das Maß
> von unendlichen Mengen = [mm]\infty[/mm] ist? Oder hat das etwas mit
> der Abzählbarkeit zu tun?
weder, noch.
Auch unendliche Mengen können ein endliches Maß haben.
Im BL-Maß ist zB [mm] $\mu([3, [/mm] 4]) = 1$, obwohl das Intervall [3, 4] eine unendliche Menge ist.
Schau dir einfach die Definition des BL-Maßes an.
Dann konstruiere eine Folge von Intervallen [-n , n] für $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Diese Mengenfolge konvergiert gegen [mm] $\IR$ [/mm] und ihre Maße gegen unendlich.
>
> Sei [mm]\mu[/mm] der nach Beispiel 2.2.10(3) durch
> [mm]\mu([a,b))=\produkt_{i=1}^{n}(b_i-a_i)[/mm] mit [mm](a,b\in\IR^n;[/mm] a
> = [mm](a_1,...,a_n) \le b=(b_1,...,b_n))[/mm]
> auf dem Halbring [mm]I^n[/mm]
> definierte Inhalt.
> Das durch zweimalige eindeutige Fortsetzung von [mm]\mu[/mm]
> gewonnene Maß auf [mm]\mathcal{B}^n[/mm] - wir schreiben dafür
> [mm]\lambda^n[/mm] - heißt Borel-Lebesgue-Maß (BL-Maß) auf
> [mm]\mathcal{B}^n.[/mm] Für n = 1 setzen wir [mm]\lambda[/mm] := [mm]\lambda^1.[/mm]
>
>
> Das habe ich wohl missinterpretiert. Die beiden
> Fortsetzungssätze habe ich nämlich noch nicht durchblickt.
Dann schau sie dir nochmal genau an, die sind nämlich im theoretischen Aufbau sehr wichtig und werden bei Prüfungen entsprechend häufig gefragt.
LG
Will
|
|
|
|
