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Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Hallo,

leider habe ich für die folgende Aufgabe keine Idee ...

Seien [mm] \mu,\nu [/mm] Maße auf [mm] (\IR,B) [/mm] mit [mm] \mu([a,b])\le\nu([a,b]) [/mm] für alle [mm] $a\le b\in\IR$. [/mm] Zeige [mm] \mu(A)\le\nu(A) [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] B$.

Wir wissen also, dass die geforderte Eigenschaft für die Menge [mm] $\{a\le x\le b\}\in [/mm] B$ gilt, aber wie zeige ich so eine Eigenschaft für alle [mm] $A\in [/mm] B$?

Ich glaube, ich habe entweder etwas ganz banales nicht verstanden, oder ich übersehe etwas komplett.

Oder muss ich hier etwas "größeres" wie die Eindeutigkeit von Maßen nutzen? Ich glaube eher, dass ich Überdeckungen finden muss und dann die [mm] $\sigma$-Subadditivität. [/mm]

Vielen Dank für eure Hilfe!
James

        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Fr 15.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

so wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie falsch und es gibt Gegenbeispiele.

Setzt man aber voraus, dass [mm] $\mu,\nu$ $\sigma$-endliche [/mm] Maße sind, so stimmt die Aussage.
Um das zu zeigen setze [mm] $\IP [/mm] := [mm] \nu [/mm] - [mm] \mu$ [/mm] und zeige dass [mm] $\IP$ [/mm] ein Inhalt ist auf [mm] $\mathcal{E} [/mm] = [mm] \{[a,b] \;| \; a,b\in\IR\}$ [/mm]

[mm] $\IP$ [/mm] lässt sich nun eindeutig als Maß auf [mm] \mathcal{B} [/mm] fortsetzen (warum?) und es gilt daher [mm] $\IP [/mm] = [mm] \nu(A) [/mm] - [mm] \mu(A) \ge [/mm] 0$ woraus das gewünschte folgt.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Fr 15.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono! :)

> so wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie falsch und es gibt
> Gegenbeispiele.

Es kam heute früh die Korrektur reingeflattert:

Seien [mm] $\mu,\nu$ [/mm] Maße auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] mit [mm] $\mu([a,b])\le\nu([a,b])<\infty$ [/mm] für alle [mm] $a\le b\in\IR$. [/mm] Zeige $ [mm] \mu(A)\le\nu(A) [/mm] $ für alle $ [mm] A\in \mathcal{B} [/mm] $.

> Setzt man aber voraus, dass [mm]\mu,\nu[/mm] [mm]\sigma[/mm]-endliche Maße
> sind, so stimmt die Aussage.

Ich gehe mal davon aus, dass das aus der Voraussetzung folgt, obwohl ich mir auch hier nicht ganz sicher bin wie man "sieht", dass ein Maß $m$ auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] mit [mm] $m([a,b])<\infty$ [/mm] für alle [mm] $a\le b\in\IR$, $\sigma$-endlich [/mm] ist.

>  Um das zu zeigen setze [mm]\IP := \nu - \mu[/mm] und zeige dass [mm]\IP[/mm]
> ein Inhalt ist auf [mm]\mathcal{E} = \{[a,b] \;| \; a,b\in\IR\}[/mm]

i) [mm] $\IP(\emptyset)=\nu(\emptyset)-\mu(\emptyset)=0-0=0$ [/mm]
ii) Seien [mm] A,B\in\mathcal{E} [/mm] paarweise disjunkt. Dann ist
[mm] $A\cup B\in\mathcal{E}$ [/mm] und [mm] $\IP(A\cup B)=\nu(A\cup B)-\mu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)-\mu(A)-\mu(B)=\IP(A)+\IP(B)$. [/mm]

> [mm]\IP[/mm] lässt sich nun eindeutig als Maß auf [mm]\mathcal{B}[/mm]
> fortsetzen (warum?)

Benötigen wir für die Eindeutigkeit nicht ein Prämaß?
In einem Korollar haben wir "Die Fortsetzung eines auf einem Ring R über [mm] \Omega [/mm] definierten Prämaßes [mm] \mu [/mm] zu einem Maß auf die erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra $\sigma(R)$ [/mm] ist eindeutig bestimmt.

Ich denke, dass man auch zeigen kann, dass [mm] \IP [/mm] ein Prämaß und somit ein Maß auf [mm] \mathcal{B} [/mm] ist.

Weiter gilt dann [mm] $\nu(A)=\mu(A)$ [/mm] für alle [mm] $A\in\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}$ [/mm] und somit:

(Ich habe gedacht, dass zunächst nur [mm] $\sigma({\mathcal{E}})\subset\mathcal{B}$ [/mm] gilt.)

> und es gilt daher [mm]\IP = \nu(A) - \mu(A) \ge 0[/mm]
> woraus das gewünschte folgt.

Vielen lieben Dank!


Bezug
                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Fr 15.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich gehe mal davon aus, dass das aus der Voraussetzung folgt, obwohl ich mir auch hier nicht ganz sicher bin wie man "sieht", dass ein Maß [mm]m[/mm] auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit [mm]m([a,b])<\infty[/mm] für alle [mm]a\le b\in\IR[/mm], [mm]\sigma[/mm]-endlich ist.

Wie lautet denn die Definition von [mm] $\sigma$-Endlichkeit? [/mm]
Ja, diese Maße sind jetzt [mm] $\sigma$-Endlich. [/mm]

> Benötigen wir für die Eindeutigkeit nicht ein Prämaß?
>  In einem Korollar haben wir "Die Fortsetzung eines auf
> einem Ring R über [mm]\Omega[/mm] definierten Prämaßes [mm]\mu[/mm] zu
> einem Maß auf die erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\sigma(R)[/mm] ist
> eindeutig bestimmt.

Aha, ja dann musst du wohl zeigen, dass [mm] \IP [/mm] sogar ein Prämaß ist :-)

> Ich denke, dass man auch zeigen kann, dass [mm]\IP[/mm] ein Prämaß
> und somit ein Maß auf [mm]\mathcal{B}[/mm] ist.

Korrekt, also: Zeige das.
Läuft ja faktisch identisch wie oben, eine kleine Begründung mehr benötigst du allerdings.
  

> (Ich habe gedacht, dass zunächst nur [mm]\sigma({\mathcal{E}})\subset\mathcal{B}[/mm] gilt.)

Ja, aber es gilt sogar [mm]\sigma({\mathcal{E}}) = \mathcal{B}[/mm].
Wie habt ihr [mm] \mathcal{B} [/mm] denn definiert?
Du müsstest das halt gegebenenfalls noch zeigen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Fr 15.05.2020
Autor: James90


> > Ich gehe mal davon aus, dass das aus der Voraussetzung
> folgt, obwohl ich mir auch hier nicht ganz sicher bin wie
> man "sieht", dass ein Maß [mm]m[/mm] auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
> [mm]m([a,b])<\infty[/mm] für alle [mm]a\le b\in\IR[/mm], [mm]\sigma[/mm]-endlich
> ist.
>  Wie lautet denn die Definition von [mm]\sigma[/mm]-Endlichkeit?
>  Ja, diese Maße sind jetzt [mm]\sigma[/mm]-Endlich.

Diesen Begriff hatten wir in der VL noch nicht ...

> > Benötigen wir für die Eindeutigkeit nicht ein Prämaß?
>  >  In einem Korollar haben wir "Die Fortsetzung eines auf
> > einem Ring R über [mm]\Omega[/mm] definierten Prämaßes [mm]\mu[/mm] zu
> > einem Maß auf die erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\sigma(R)[/mm] ist
> > eindeutig bestimmt.
>  Aha, ja dann musst du wohl zeigen, dass [mm]\IP[/mm] sogar ein
> Prämaß ist :-)

Okay! :-)

Seien [mm] $A_1,A_2,\ldots$ [/mm] paarweise disjunkte Mengen in [mm] $\mathcal{E}$. [/mm]
Zu zeigen: [mm] $\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\IP(A_n)$. [/mm]

Es gilt:

[mm] $\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$, [/mm]

wobei wir das nun wegen der [mm] $\sigma$-Endlichkeit [/mm] von [mm] \nu [/mm] und [mm] \mu [/mm] auch aufschreiben können.

Weiter:

[mm] $\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{n\in\IN}\nu(A_n)-\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)$, [/mm]

wegen der [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] der Maße [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu. [/mm]
Außerdem folgt dadurch, dass die zwei Reihen nicht mehr bedingt (gegen [mm] \infty) [/mm] konvergieren können, also können sie nur noch konvergieren.
(Ist das wirklich so? Sie könnten doch noch bedingt gegen [mm] -\infty [/mm] konvergieren ... oder irre ich mich?)

Jedenfalls könnten wir mit der Konvergenz der Reihen, folgendes machen ohne den Grenzwert zu ändern:

[mm] $\sum_{n\in\IN}\nu(A_n)-\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)=\sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))$ [/mm]

Somit:

[mm] \sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))=\sum_{n\in\IN}\IP(A_n) [/mm]

> > Ich denke, dass man auch zeigen kann, dass [mm]\IP[/mm] ein Prämaß
> > und somit ein Maß auf [mm]\mathcal{B}[/mm] ist.
>  Korrekt, also: Zeige das.
>  Läuft ja faktisch identisch wie oben, eine kleine
> Begründung mehr benötigst du allerdings.

Passt das?
  

> > (Ich habe gedacht, dass zunächst nur
> [mm]\sigma({\mathcal{E}})\subset\mathcal{B}[/mm] gilt.)
>  Ja, aber es gilt sogar [mm]\sigma({\mathcal{E}}) = \mathcal{B}[/mm].
>  
> Wie habt ihr [mm]\mathcal{B}[/mm] denn definiert?
> Du müsstest das halt gegebenenfalls noch zeigen.

Wir haben [mm] A\subseteq\IR^n [/mm] elementargeometrisch gennant, falls A aus endlich vielen achsenparallelen Quadern besteht.
Dann haben wir von der Menge, die alle elementargeometrische Teilmengen enthält, die erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \IR^n [/mm] als die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] definiert.
Irgendwie scheine ich mit dieser Menge meine Probleme zu haben ^^
Ich dachte, dort sind alle offen, abgeschlossenen, halb-offenen, etc. Teilmengen vom [mm] \IR^n [/mm] drin.

Danke dir nochmal vielmals und auch hier wünsche ich dir noch ein schönes Wochenende!


Bezug
                                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Sa 16.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho

> Es gilt:
>  
> [mm]\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm],

[ok]
Wobei hier jetzt die Frage ist: Warum ist das wohldefiniert, also warum kann da nicht etwas problematisches stehen wie [mm] $\infty -\infty$? [/mm]

>  Außerdem folgt dadurch, dass die zwei Reihen nicht mehr
> bedingt (gegen [mm]\infty)[/mm] konvergieren können, also können
> sie nur noch konvergieren.

Das ist gerade obige Frage: Warum konvergieren obige Reihen, und das sogar absolut?

>  (Ist das wirklich so? Sie könnten doch noch bedingt gegen
> [mm]-\infty[/mm] konvergieren ... oder irre ich mich?)

Das können sie erst recht nicht… es sind doch hoffentlich [mm] $\mu, \nu \ge [/mm] 0$, wie soll die Reihe da negativ werden?

> Jedenfalls könnten wir mit der Konvergenz der Reihen,
> folgendes machen ohne den Grenzwert zu ändern:
>  
> [mm]\sum_{n\in\IN}\nu(A_n)-\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)=\sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))[/mm]

Ja, das können wir, wenn sie absolut konvergieren. Siehe oben…

> Somit:
>  
> [mm]\sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))=\sum_{n\in\IN}\IP(A_n)[/mm]

[ok]

> Wir haben [mm]A\subseteq\IR^n[/mm] elementargeometrisch gennant, falls A aus endlich vielen achsenparallelen Quadern besteht.

Wie sehen solche A auf [mm] $\IR$ [/mm] nun aus?
Was sind denn die Quader in [mm] $\IR$? [/mm]

>  Dann haben wir von der Menge, die alle
> elementargeometrische Teilmengen enthält, die erzeugte
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\IR^n[/mm] als die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm] definiert.

Ja.
Und was sind nun die elementargeometrischen Mengen auf [mm] $\IR$? [/mm]

>  Ich dachte, dort sind alle offen, abgeschlossenen,
> halb-offenen, etc. Teilmengen vom [mm]\IR^n[/mm] drin.

Sind sie auch… jetzt geht es aber erst mal darum, wovon sie erzeugt werden.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Mo 18.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono,

vielen Dank für deine kritischen Fragen, das motiviert mich genauer damit zu befassen ... :-)

> > Es gilt:
>  >  
> >
> [mm]\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm],
>  [ok]
>  Wobei hier jetzt die Frage ist: Warum ist das
> wohldefiniert, also warum kann da nicht etwas
> problematisches stehen wie [mm]\infty -\infty[/mm]?

Ich dachte, das folgt aus der [mm] $\sigma$-Endlichkeit, [/mm] aber anscheinend war das zu voreilig ...

> >  Außerdem folgt dadurch, dass die zwei Reihen nicht mehr

> > bedingt (gegen [mm]\infty)[/mm] konvergieren können, also können
> > sie nur noch konvergieren.
>  Das ist gerade obige Frage: Warum konvergieren obige
> Reihen, und das sogar absolut?

Das Argument der absoluten Konvergenz brauche ich hier noch nicht, oder?

Die Voraussetzung ist: Seien $ [mm] \mu,\nu [/mm] $ Maße auf $ [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] $ mit $ [mm] \mu([a,b])\le\nu([a,b])<\infty [/mm] $ für alle $ [mm] a\le b\in\IR [/mm] $.

Wir betrachten: [mm] $\IP:\nu-\mu$ [/mm] auf [mm] $\mathcal{E}=\{[a,b]\mid a\le b\in\IR\}. [/mm]

1) Aus der Voraussetzung folgt [mm] $\IP:\nu-\mu\ge [/mm] 0$. (Ich dachte, das folgt erst mit dem Beweis, dass [mm] $\IP$ [/mm] ein Prämaß ist. Danke!)
2) Aus der Voraussetzung folgt [mm] $\IP:\nu-\mu<\infty$. [/mm]
Damit ist [mm] $\IP$ [/mm] beschränkt.

> >  (Ist das wirklich so? Sie könnten doch noch bedingt gegen

> > [mm]-\infty[/mm] konvergieren ... oder irre ich mich?)
>  Das können sie erst recht nicht… es sind doch
> hoffentlich [mm]\mu, \nu \ge 0[/mm], wie soll die Reihe da negativ
> werden?
>  
> > Jedenfalls könnten wir mit der Konvergenz der Reihen,
> > folgendes machen ohne den Grenzwert zu ändern:
>  >  
> >
> [mm]\sum_{n\in\IN}\nu(A_n)-\sum_{n\in\IN}\mu(A_n)=\sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))[/mm]
>  Ja, das können wir, wenn sie absolut konvergieren. Siehe
> oben…

Jetzt brauchen wir die Konvergenz, aber ich komme leider weiterhin nicht darauf.
[mm] $\sigma$-Endlichkeit [/mm] habe ich aber noch nicht genutzt. Liegt es irgendwie daran? Damit erhalten wir doch nur die Konvergenz einer aufsteigenden Teilfolge von Mengen gegen [mm] $\IR$. [/mm]
Wären alle Teilfolgen monoton steigend, dann hätten wir, mit der Beschränktheit, Konvergenz, aber das sehe ich nicht.
Wegen [mm] $\IP\ge [/mm] 0$ folgt aber aus der Konvergenz auch die absolute Konvergenz.

> > Somit:
>  >  
> > [mm]\sum_{n\in\IN}(\nu(A_n)-\mu(A_n))=\sum_{n\in\IN}\IP(A_n)[/mm]
>  [ok]
>  
> > Wir haben [mm]A\subseteq\IR^n[/mm] elementargeometrisch gennant,
> falls A aus endlich vielen achsenparallelen Quadern
> besteht.
>  Wie sehen solche A auf [mm]\IR[/mm] nun aus?
> Was sind denn die Quader in [mm]\IR[/mm]?

Sei [mm] $A\subseteq\IR$ [/mm] elementargeometrisch.
Dann wäre das ein Quader(?) Q mit genau einem Intervall [mm] I_1. [/mm]
Beispiel: Q=[2,4]. Das wäre also nur eine Linie auf [mm] \IR [/mm] zwischen 2 und 4 auf der x-Achse

Sei [mm] $A\subseteq\IR^2$ [/mm] elementargeometrisch.
Dann wäre das ein Quader Q mit genau zwei Intervallen [mm] I_1,I_2. [/mm]
Beispiel: Q=[2,4]x[1,2]. Das wäre also nun ein Quader, der die "Ecken" (2,1), (4,1), (2,2) und (4,2) hat.

> >  Dann haben wir von der Menge, die alle

> > elementargeometrische Teilmengen enthält, die erzeugte
> > [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\IR^n[/mm] als die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> definiert.
>  Ja.
>  Und was sind nun die elementargeometrischen Mengen auf
> [mm]\IR[/mm]?

Beliebige Vereinigung, Durchschnitte und Schnitte von Quadern?
  

> >  Ich dachte, dort sind alle offen, abgeschlossenen,

> > halb-offenen, etc. Teilmengen vom [mm]\IR^n[/mm] drin.
>  Sind sie auch… jetzt geht es aber erst mal darum, wovon
> sie erzeugt werden.

Leider sehe ich nun weiterhin nur [mm] $\sigma({\mathcal{E}})\subset\mathcal{B} [/mm] und nicht [mm] $\sigma({\mathcal{E}}) [/mm] = [mm] \mathcal{B}$ [/mm]

Irgendwie habe ich wohl etwas noch nicht ganz verstanden ...

Viele Grüße
James

Bezug
                                                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 18.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm],
>  >  [ok]
>  >  Wobei hier jetzt die Frage ist: Warum ist das
> > wohldefiniert, also warum kann da nicht etwas
> > problematisches stehen wie [mm]\infty -\infty[/mm]?
>  
> Ich dachte, das folgt aus der [mm]\sigma[/mm]-Endlichkeit, aber anscheinend war das zu voreilig ...

Jap, das war es.

z.B. würde da für [mm] $\IR$ [/mm] ja stehen: [mm] $\IP(\IR) [/mm] = [mm] \nu(\IR) [/mm] - [mm] \mu(\IR)$ [/mm]
Und selbst wenn [mm] \nu [/mm] und [mm] \mu $\sigma$-endlich [/mm] wären (z.B. das Lebesgue-Maß), könnte [mm] $\nu(\IR) [/mm] = [mm] \mu(\IR) [/mm] = [mm] +\infty$ [/mm] gelten und der obige Ausdruck wäre nicht wohldefiniert.

> Wir betrachten: [mm]$\IP:\nu-\mu$[/mm] auf [mm]$\mathcal{E}=\{[a,b]\mid a\le b\in\IR\}.[/mm]

Da liegt der Grund. Für ein Prämaß muss die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] auf welchem Raum gezeigt werden?
Was muss [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n$ [/mm] also sein? Und damit ist [mm] $\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$ [/mm] und [mm] $\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$ [/mm] was?

>  2) Aus der Voraussetzung folgt [mm]\IP:\nu-\mu<\infty[/mm].

Das folgt.

>  Damit ist [mm]\IP[/mm] beschränkt.

Das aber nicht.
Ein endliches Maß muss nicht beschränkt sein!
Als gegenbeispiel wieder [mm] $\lambda$ [/mm] - das Lebesgue-Maß. Das ist auf [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] offensichtlich endlich, aber nicht beschränkt.

> Wegen [mm]\IP\ge 0[/mm] folgt aber aus der Konvergenz auch die absolute Konvergenz.

[ok]

> Sei [mm]A\subseteq\IR[/mm] elementargeometrisch.
>  Dann wäre das ein Quader(?) Q mit genau einem Intervall
> [mm]I_1.[/mm]
>  Beispiel: Q=[2,4]. Das wäre also nur eine Linie auf [mm]\IR[/mm]
> zwischen 2 und 4 auf der x-Achse

Aha.
Oder anders gesagt: Die Quader in [mm] \IR [/mm] sind die Intervalle.

> > Wir haben $ [mm] A\subseteq\IR^n [/mm] $ elementargeometrisch gennant, falls A aus endlich vielen achsenparallelen Quadern besteht.

Auf [mm] \IR [/mm] bedeutet das also: A ist einfach eine endliche Vereinigung von Intervallen.


> > >  Dann haben wir von der Menge, die alle

> > > elementargeometrische Teilmengen enthält, die erzeugte
> > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\IR^n[/mm] als die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> > definiert.

Nach obigem auf [mm] \IR [/mm] dann also: Die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist erzeugt durch die Intervalle.
Denn: Die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist erzeugt durch die elementargeometrischen Teilmengen aus [mm] $\IR$, [/mm] welche aus Intervallen erzeugt wurden.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 18.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono!

> [mm]\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm],
>  >  >  [ok]
>  >  >  Wobei hier jetzt die Frage ist: Warum ist das
> > > wohldefiniert, also warum kann da nicht etwas
> > > problematisches stehen wie [mm]\infty -\infty[/mm]?
>  >  
> > Ich dachte, das folgt aus der [mm]\sigma[/mm]-Endlichkeit, aber
> anscheinend war das zu voreilig ...
>  Jap, das war es.
>
> z.B. würde da für [mm]\IR[/mm] ja stehen: [mm]\IP(\IR) = \nu(\IR) - \mu(\IR)[/mm]
>  
> Und selbst wenn [mm]\nu[/mm] und [mm]\mu[/mm]  [mm]\sigma[/mm]-endlich wären (z.B.
> das Lebesgue-Maß), könnte [mm]\nu(\IR) = \mu(\IR) = +\infty[/mm]
> gelten und der obige Ausdruck wäre nicht wohldefiniert.

Danke für das coole Gegenbeispiel!

> > Wir betrachten: [mm]$\IP:\nu-\mu$[/mm] auf [mm]$\mathcal{E}=\{[a,b]\mid a\le b\in\IR\}.[/mm]
>  
> Da liegt der Grund. Für ein Prämaß muss die
> [mm]\sigma[/mm]-Additivität auf welchem Raum gezeigt werden?
>  Was muss [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n[/mm] also sein? Und damit ist
> [mm]\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm] und [mm]\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)[/mm]
> was?

Erstmal:

Seien $ [mm] \mu,\nu [/mm] $ Maße auf $ [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] $ mit $ [mm] \mu([a,b])\le\nu([a,b])<\infty [/mm] $ für alle $ [mm] a\le b\in\IR [/mm] $.
Wir setzen [mm] $\IP:=\nu-\mu$ [/mm] und zeigen die [mm] $\sigma$-Endlichkeit [/mm] von [mm] $\IP$ [/mm] auf [mm] $(\IR,\mathcal{E}:=\{[a,b]\mid a\le b\in\IR\})$. [/mm]
Es sei [mm] $A_n:=[-n,n]$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]
Dann ist [mm] $A_1,A_2,\ldots$ [/mm] eine Folge von Mengen aus [mm] \mathcal{E} [/mm] mit [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n=\IR. [/mm]
Aus [mm] \mu(A_n),\nu(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] folgt [mm] \IP(A_n)=\nu(A_n)-\mu(A_n)<\infty [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm]
Somit ist [mm] $\IP$ [/mm] ein [mm] $\sigma$-endliches [/mm] Maß auf [mm] ($\IR,\mathcal{E})$. [/mm]

Dann:

Die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] muss gezeigt werden für [mm] $A_1,A_2,\ldots$ [/mm] paarweise disjunkte Mengen in [mm] $\mathcal{E}$. [/mm]

1) Zur Wohldefiniertheit sollte [mm] \bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E} [/mm] sein. Das ist in der Tat der Fall, denn [mm] A_n\in\mathcal{E}\subset\mathcal{B} [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm] d.h. wir haben eine Vereinigung von abzählbar vielen endlichen Intervallen und diese Vereinigung ist somit abzählbar. Mit anderen Worten: Die Vereinigung ist selbst nur ein Intervall, das natürlich dann auch in [mm] \mathcal{E} [/mm] liegt.

2) Weiter sind [mm] $\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$ [/mm] und [mm] $\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$ [/mm] wohldefiniert, weil [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] bereits Maße sind und [mm] \mathcal{E}\subset\mathcal{B} [/mm] gilt. Ferner sind die Vereinigungen jeweils wieder nur ein Intervall, d.h. diese sind wiederum wieder in [mm] \mathcal{E} [/mm] enthalten, sodass [mm] $\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$,$\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$<\infty [/mm] gilt und somit ist auch [mm] $\IP(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\nu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)-\mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)$ [/mm] erlaubt.

Passt das?

> >  2) Aus der Voraussetzung folgt [mm]\IP:\nu-\mu<\infty[/mm].

>  Das folgt.
>  
> >  Damit ist [mm]\IP[/mm] beschränkt.

>  Das aber nicht.
>  Ein endliches Maß muss nicht beschränkt sein!
>  Als gegenbeispiel wieder [mm]\lambda[/mm] - das Lebesgue-Maß. Das
> ist auf [mm]\mathcal{E}[/mm] offensichtlich endlich, aber nicht
> beschränkt.

Stimmt, danke dir! So langsam verstehe ich das Lebesque-Maß.

> > Wegen [mm]\IP\ge 0[/mm] folgt aber aus der Konvergenz auch die
> absolute Konvergenz.
>  [ok]
>  
> > Sei [mm]A\subseteq\IR[/mm] elementargeometrisch.
>  >  Dann wäre das ein Quader(?) Q mit genau einem
> Intervall
> > [mm]I_1.[/mm]
>  >  Beispiel: Q=[2,4]. Das wäre also nur eine Linie auf
> [mm]\IR[/mm]
> > zwischen 2 und 4 auf der x-Achse
>  Aha.
>  Oder anders gesagt: Die Quader in [mm]\IR[/mm] sind die
> Intervalle.
>  
> > > Wir haben [mm]A\subseteq\IR^n[/mm] elementargeometrisch gennant,
> falls A aus endlich vielen achsenparallelen Quadern
> besteht.
>  Auf [mm]\IR[/mm] bedeutet das also: A ist einfach eine endliche
> Vereinigung von Intervallen.

Super cool, habe ich oben (hoffentlich richtig) verwendet. :-)

> > > >  Dann haben wir von der Menge, die alle

> > > > elementargeometrische Teilmengen enthält, die erzeugte
> > > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\IR^n[/mm] als die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> > > definiert.
>  Nach obigem auf [mm]\IR[/mm] dann also: Die Borelsche
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist erzeugt durch die Intervalle.
>  Denn: Die Borelsche [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist erzeugt durch die
> elementargeometrischen Teilmengen aus [mm]\IR[/mm], welche aus
> Intervallen erzeugt wurden.

Merci!

Viele Grüße
James

Bezug
                                                                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Mi 20.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Danke für das coole Gegenbeispiel!

Also irgendwie stört mich der Ausdruck… Gegenbeispiele können zwar cool sein, da sind wir aber noch lange nicht.
Aktuell sind sie eher ein Zeichen dafür, dass du besser bergründen solltest…

> Erstmal:
>  
> Seien [mm]\mu,\nu[/mm] Maße auf [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] mit
> [mm]\mu([a,b])\le\nu([a,b])<\infty[/mm] für alle [mm]a\le b\in\IR [/mm].
>  
> Wir setzen [mm]\IP:=\nu-\mu[/mm] und zeigen die [mm]\sigma[/mm]-Endlichkeit
> von [mm]\IP[/mm] auf [mm](\IR,\mathcal{E}:=\{[a,b]\mid a\le b\in\IR\})[/mm].
>  
> Es sei [mm]A_n:=[-n,n][/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>  Dann ist [mm]A_1,A_2,\ldots[/mm] eine Folge von Mengen aus
> [mm]\mathcal{E}[/mm] mit [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n=\IR.[/mm]
>  Aus [mm]\mu(A_n),\nu(A_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] folgt
> [mm]\IP(A_n)=\nu(A_n)-\mu(A_n)<\infty[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>  Somit ist [mm]\IP[/mm] ein [mm]\sigma[/mm]-endliches Maß auf
> ([mm]\IR,\mathcal{E})[/mm].

Sehr schön, du kennst die Definition von [mm] $\sigma$-Endlichkeit [/mm] ja doch :-)
Brauchen wir hier nur leider nicht…
  

> Dann:
>  
> Die [mm]\sigma[/mm]-Additivität muss gezeigt werden für
> [mm]A_1,A_2,\ldots[/mm] paarweise disjunkte Mengen in [mm]\mathcal{E}[/mm].
>  
> 1) Zur Wohldefiniertheit sollte
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E}[/mm] sein. Das ist in der Tat
> der Fall, denn [mm]A_n\in\mathcal{E}\subset\mathcal{B}[/mm] für
> alle [mm]n\in\IN,[/mm] d.h. wir haben eine Vereinigung von
> abzählbar vielen endlichen Intervallen und diese
> Vereinigung ist somit abzählbar.

Das dröseln wir mal erst mal auf:
Also: Um zu zeigen, dass [mm] $\IP$ [/mm] ein Prämaß auf [mm] \mathcal{E} [/mm] ist, reicht es die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] zu zeigen für abzählbare Vereinigungen mit  [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E}[/mm]
Das führt dazu, dass [mm] $\IP$ [/mm] tatsächlich wohldefiniert ist… aber ich hab das Gefühl du vertauschst hier Ursache und Wirkung.

Wir betrachten nach der Definition des Prämaßes nur solche [mm] A_i [/mm] mit [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E}[/mm] und darum ist [mm] $\IP$ [/mm] auf [mm] \mathcal{E} [/mm] wohldefiniert. Nicht umgekehrt!

Dass im Allgemeinen eben nicht [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E}[/mm] gelten muss, hast du ja selbst schon gezeigt, da für [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n = \IR \not\in\mathcal{E}[/mm] gelten kann.

> Mit anderen Worten: Die Vereinigung ist selbst nur ein Intervall, das natürlich  dann auch in [mm]\mathcal{E}[/mm] liegt.

Schlag noch mal nach, dass die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] eines Prämaßes nur für [mm]\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{E}[/mm] gezeigt werden muss!

> Passt das?

Jetzt ja.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                
Bezug
Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mi 20.05.2020
Autor: James90

Danke Dir Gono, du hast mir wirklich sehr geholfen!

Die Definition der [mm] $\sigma [/mm] $-Additivität habe ich mir nochmal verinnerlicht ... :-)

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