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Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Do 07.05.2020
Autor: James90

Hallo!

Sei [mm] \Omega [/mm] endlich, [mm] $(F=P(\Omega),\Omega)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $\mu:F\to\IR, A\mapsto \sum_{x\in A}p(x)$ [/mm] mit [mm] $p:\Omega\to\IR$. [/mm]
Wann ist [mm] \mu [/mm] ein Maß?

[mm] \mu(\emptyset)=0 [/mm] ist klar.

Sei [mm] A_1,A_2,... [/mm] eine paarweise disjunkte Folge in F.

Dann gilt [mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\sum_{x\in \bigcup_{n\in\IN}A_n}p(x)=\sum_{n\in\IN}\sum_{x\in A_n}p(x)=\sum_{n\in\IN}\mu(A_n) [/mm]

Für das mittlere "=" braucht man absolute Konvergenz von [mm] \mu. [/mm] Geht es auch "minimalistischer"?

Danke und viele Grüße!

        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 08.05.2020
Autor: statler

Hallo!

> Sei [mm]\Omega[/mm] endlich, [mm](F=P(\Omega),\Omega)[/mm] ein Maßraum und
> [mm]\mu:F\to\IR, A\mapsto \sum_{x\in A}p(x)[/mm] mit
> [mm]p:\Omega\to\IR[/mm].
>  Wann ist [mm]\mu[/mm] ein Maß?

Wo ist dein Problem? Wenn [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist, ist [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] auch endlich.

>  
> [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] ist klar.
>  
> Sei [mm]A_1, A_2,...[/mm] eine paarweise disjunkte Folge in F.

Diese Folge ist dann notgedrungen auch endlich.
Gruß
Dieter




Bezug
        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Fr 08.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] ist klar.

Das gilt nach Voraussetzung und ist daher keine Einschränkung.

[mm] $\mu$ [/mm] ist ein Maß, genau dann, wenn $p [mm] \ge [/mm] 0$ gilt.
Mehr braucht es nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:38 So 10.05.2020
Autor: James90

Hallo Gono!

> > [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] ist klar.
>  Das gilt nach Voraussetzung und ist daher keine
> Einschränkung.

Sorry, da habe ich mich falsch ausgedrückt. Bei meinem Versuch gehe ich die Definition eines Maß durch und schaue wo es zu Problemen kommen könnte.

> [mm]\mu[/mm] ist ein Maß, genau dann, wenn [mm]p \ge 0[/mm] gilt.
>  Mehr braucht es nicht.

Jetzt verstehe ich leider mehrere Dinge nicht.

1) Warum würde das reichen?
2) Die Funktion wird ja dann dabei eingeschränkt. Meiner Meinung nach möchte man zu den angegebene Voraussetzungen, zusätzliche Voraussetzungen bringen, sodass /mu ein Maß ist.

Ich habe hier absolute Konvergenz gefordert, weil es bei der zweiten Voraussetzung zwar um disjunkte Mengen geht, aber die Reihenfolge geändert wird und man somit absolute Konvergenz braucht.

Vielen Dank und viele Grüße!

Bezug
                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:12 So 10.05.2020
Autor: fred97


> Hallo Gono!
>  
> > > [mm]\mu(\emptyset)=0[/mm] ist klar.
>  >  Das gilt nach Voraussetzung und ist daher keine
> > Einschränkung.
>  
> Sorry, da habe ich mich falsch ausgedrückt. Bei meinem
> Versuch gehe ich die Definition eines Maß durch und schaue
> wo es zu Problemen kommen könnte.
>  
> > [mm]\mu[/mm] ist ein Maß, genau dann, wenn [mm]p \ge 0[/mm] gilt.
>  >  Mehr braucht es nicht.
>  
> Jetzt verstehe ich leider mehrere Dinge nicht.
>  
> 1) Warum würde das reichen?
>  2) Die Funktion wird ja dann dabei eingeschränkt. Meiner
> Meinung nach möchte man zu den angegebene Voraussetzungen,
> zusätzliche Voraussetzungen bringen, sodass /mu ein Maß
> ist.

Ja, die zusätzliche Voraussetzung lautet:  $p [mm] \ge [/mm] 0$


>  
> Ich habe hier absolute Konvergenz gefordert, weil es bei
> der zweiten Voraussetzung zwar um disjunkte Mengen geht,
> aber die Reihenfolge geändert wird und man somit absolute
> Konvergenz braucht.


Alle Reihen,  die bei Dir oben vorkommen sind endlich!  [mm] \Omega [/mm]  ist endlich!

Hast Du die Antwort von Dieter nicht gelesen?

>  
> Vielen Dank und viele Grüße!


Bezug
                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 So 10.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Warum würde das reichen?
>  2) Die Funktion wird ja dann dabei eingeschränkt. Meiner
> Meinung nach möchte man zu den angegebene Voraussetzungen,
> zusätzliche Voraussetzungen bringen, sodass /mu ein Maß
> ist.

Wie fred schon schrieb: Ja, diese Voraussetzung ist $p [mm] \ge [/mm] 0$, diese Voraussetzung ist notwendig und hinreichend.

D.h. es gilt: [mm] $\mu \text{ Maß } \gdw [/mm] p [mm] \ge [/mm] 0$
Zeige das!


> Ich habe hier absolute Konvergenz gefordert, weil es bei
> der zweiten Voraussetzung zwar um disjunkte Mengen geht,
> aber die Reihenfolge geändert wird und man somit absolute
> Konvergenz braucht.

Auch hier wiederhole ich freds Frage: Hast du statlers Antwort überhaupt gelesen?

Und wenn du alles bearbeitet hast noch als Fingerübung: Mit der Annahme $p [mm] \ge [/mm] 0$ kann [mm] \Omega [/mm] sogar abzählbar sein, ohne dass man eine zusätzliche Annahme benötigt. Mach dir klar, dass deine "absolute Konvergenz" bereits aus $p [mm] \ge [/mm] 0$ folgt.

Gruß,
Gono


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