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| Aufgabe | a) Wie viele Zahlen enthält F(b,n,m,M) = F(2,2-2,2) ?
mit Basis b, Mantissenlänge n und Exponent E mit m [mm] \le [/mm] E [mm] \le [/mm] M.
b)Zeige, dass eps := 1/2 [mm] \* b^{1-n} [/mm] die Hälfte der Distanz zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl in F(b,n,m,M), m < 0 < M ist.
c) Sei x = 1 y= 1/2 [mm] \* [/mm] eps b= 10 n [mm] \ge [/mm] 3, m <-n M [mm] \ge [/mm] 1
Was ist x [mm] \oplus [/mm] y := [mm] Rd_n [/mm] (x+y) ? |
Huhu zusammen:)
Also zur a)
hab ich durch die Formel:
[mm] b^{m-1} \le [/mm] |x| [mm] \lw (1-b^{-n}) \* b^M [/mm] raus, dass
[mm] \bruch{1}{8} \le [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 3
also wieviele zahlen? überabzählbare viele über [mm] \IR [/mm] oder muss ich das hier anders sehen?
zu b)
ich hab mir ma die formel aufgestellt:
1/2 [mm] \* b^{1-n} [/mm] = [mm] \bruch{|1-???|}{2} [/mm] also die Distanz zwischen 1 und der nächsten Gleitkommazahl, aber weiß nicht wie die Gleitkommazahl in F aussieht daher ???^^
c)
x+y müsste dann sein:
[mm] \bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}
[/mm]
wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm] \ge [/mm] 3...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 So 11.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Wie viele Zahlen enthält F(b,n,m,M) = F(2,2-2,2) ?
> mit Basis b, Mantissenlänge n und Exponent E mit m [mm]\le[/mm] E
> [mm]\le[/mm] M.
>
> b)Zeige, dass eps := 1/2 [mm]\* b^{1-n}[/mm] die Hälfte der Distanz
> zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl in
> F(b,n,m,M), m < 0 < M ist.
>
> c) Sei x = 1 y= 1/2 [mm]\*[/mm] eps b= 10 n [mm]\ge[/mm] 3, m <-n M [mm]\ge[/mm] 1
> Was ist x [mm]\oplus[/mm] y := [mm]Rd_n[/mm] (x+y) ?
> Huhu zusammen:)
>
> Also zur a)
> hab ich durch die Formel:
>
> [mm]b^{m-1} \le |x| \le (1-b^{-n}) \* b^M[/mm] raus, dass
> [mm]\bruch{1}{8} \le[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 3
> also wieviele zahlen? überabzählbare viele über [mm]\IR[/mm]
> oder muss ich das hier anders sehen?
Was ist den eine Gleitkommazahl? Wieviele kann es den überhaupt nur geben, da du 5 verschiedene lögliche Exponenten und bei n=2 nur 4 verschiedene Mantissenwerte hast?
> zu b)
>
> ich hab mir ma die formel aufgestellt:
>
> [mm]1/2 \* b^{1-n} = \bruch{|1-???|}{2}[/mm] also die Distanz
> zwischen 1 und der nächsten Gleitkommazahl, aber weiß
> nicht wie die Gleitkommazahl in F aussieht daher ???^^
Du bekommst die nächstgrößere Gleitkommazhal, indem du die letzte Stelle der Mantisse um 1 erhöhst. Wie sieht diese Zahl also aus?
> c)
>
> x+y müsste dann sein:
>
> [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
Wo kommt den da die Zahl 8 her?
> wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was passiert also beim Runden?
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > a) Wie viele Zahlen enthält F(b,n,m,M) = F(2,2-2,2) ?
> > mit Basis b, Mantissenlänge n und Exponent E mit m [mm]\le[/mm]
> E
> > [mm]\le[/mm] M.
> >
> > b)Zeige, dass eps := 1/2 [mm]\* b^{1-n}[/mm] die Hälfte der Distanz
> > zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl in
> > F(b,n,m,M), m < 0 < M ist.
> >
> > c) Sei x = 1 y= 1/2 [mm]\*[/mm] eps b= 10 n [mm]\ge[/mm] 3, m <-n M [mm]\ge[/mm] 1
> > Was ist x [mm]\oplus[/mm] y := [mm]Rd_n[/mm] (x+y) ?
> > Huhu zusammen:)
> >
> > Also zur a)
> > hab ich durch die Formel:
> >
> > [mm]b^{m-1} \le |x| \le (1-b^{-n}) \* b^M[/mm] raus, dass
> > [mm]\bruch{1}{8} \le[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 3
> > also wieviele zahlen? überabzählbare viele über [mm]\IR[/mm]
> > oder muss ich das hier anders sehen?
>
> Was ist den eine Gleitkommazahl? Wieviele kann es den
> überhaupt nur geben, da du 5 verschiedene lögliche
> Exponenten und bei n=2 nur 4 verschiedene Mantissenwerte
> hast?
Dann gibt es 4 [mm] \* [/mm] 5 Möglichkeiten.
> > zu b)
> >
> > ich hab mir ma die formel aufgestellt:
> >
> > [mm]1/2 \* b^{1-n} = \bruch{|1-???|}{2}[/mm] also die Distanz
> > zwischen 1 und der nächsten Gleitkommazahl, aber weiß
> > nicht wie die Gleitkommazahl in F aussieht daher ???^^
>
> Du bekommst die nächstgrößere Gleitkommazhal, indem du
> die letzte Stelle der Mantisse um 1 erhöhst. Wie sieht
> diese Zahl also aus?
hmm. ich weiß ja nicht wo die letzte Stelle der Mantisse ist, n ist ja nicht gegeben. Die Gleichung an sich geht ja irgendwie nur auf wenn mein??? = [mm] 1+b^{1-n} [/mm] ist oder? dann wüsst ich nicht ganz wieso...
> > c)
> >
> > x+y müsste dann sein:
> >
> > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
>
> Wo kommt den da die Zahl 8 her?
ich hatte es so gemacht: x=1, y = 1/4 [mm] \* [/mm] eps wobei y dann 1/4 [mm] \* [/mm] 1/2 [mm] \* 10^{1-n} [/mm] ist, also [mm] \bruch{10}{8\*10^n} [/mm] und dann die 1 (=x) auf den Bruch erweitert [mm] \bruch{8 \*10^n}{8\*10^n}
[/mm]
> > wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
>
> Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps
> genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren
> Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was
> passiert also beim Runden?
daher ist mein 1+y =
[mm] \bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/
[/mm]
> Viele Grüße
> Rainer
>
viele liebe Grüße
Evelyn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mo 12.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Evelyn!
> > Hallo!
> >
> > > a) Wie viele Zahlen enthält F(b,n,m,M) = F(2,2-2,2) ?
> > > mit Basis b, Mantissenlänge n und Exponent E mit m
> [mm]\le[/mm]
> > E
> > > [mm]\le[/mm] M.
> > >
> > > b)Zeige, dass eps := 1/2 [mm]\* b^{1-n}[/mm] die Hälfte der Distanz
> > > zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl in
> > > F(b,n,m,M), m < 0 < M ist.
> > >
> > > c) Sei x = 1 y= 1/2 [mm]\*[/mm] eps b= 10 n [mm]\ge[/mm] 3, m <-n M [mm]\ge[/mm] 1
> > > Was ist x [mm]\oplus[/mm] y := [mm]Rd_n[/mm] (x+y) ?
> > > Huhu zusammen:)
> > >
> > > Also zur a)
> > > hab ich durch die Formel:
> > >
> > > [mm]b^{m-1} \le |x| \le (1-b^{-n}) \* b^M[/mm] raus, dass
> > > [mm]\bruch{1}{8} \le[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 3
> > > also wieviele zahlen? überabzählbare viele über
> [mm]\IR[/mm]
> > > oder muss ich das hier anders sehen?
> >
> > Was ist den eine Gleitkommazahl? Wieviele kann es den
> > überhaupt nur geben, da du 5 verschiedene lögliche
> > Exponenten und bei n=2 nur 4 verschiedene Mantissenwerte
> > hast?
> Dann gibt es 4 [mm]\*[/mm] 5 Möglichkeiten.
Eben.
> > > zu b)
> > >
> > > ich hab mir ma die formel aufgestellt:
> > >
> > > [mm]1/2 \* b^{1-n} = \bruch{|1-???|}{2}[/mm] also die Distanz
> > > zwischen 1 und der nächsten Gleitkommazahl, aber weiß
> > > nicht wie die Gleitkommazahl in F aussieht daher ???^^
> >
> > Du bekommst die nächstgrößere Gleitkommazhal, indem du
> > die letzte Stelle der Mantisse um 1 erhöhst. Wie sieht
> > diese Zahl also aus?
> hmm. ich weiß ja nicht wo die letzte Stelle der Mantisse
> ist, n ist ja nicht gegeben. Die Gleichung an sich geht ja
> irgendwie nur auf wenn mein??? = [mm]1+b^{1-n}[/mm] ist oder? dann
> wüsst ich nicht ganz wieso...
Du weisst, dass die Mantisse n Stellen hat, also ist es die n-te Stelle die um 1 erhöht wird. Wenn die 1. Stelle den Wert 1 hat, bedeutete eine 1 an der n-ten Stelle den Wert [mm] $b^{n-1}$.
[/mm]
> > > c)
> > >
> > > x+y müsste dann sein:
> > >
> > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
> >
> > Wo kommt den da die Zahl 8 her?
>
> ich hatte es so gemacht: x=1, y = 1/4 [mm]\*[/mm] eps wobei y dann
> 1/4 [mm]\*[/mm] 1/2 [mm]\* 10^{1-n}[/mm] ist, also [mm]\bruch{10}{8\*10^n}[/mm] und
> dann die 1 (=x) auf den Bruch erweitert [mm]\bruch{8 \*10^n}{8\*10^n}[/mm]
Also erst einmal steht da $y=1/2*eps$, nicht $y=1/4*eps$.
> > > wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
> >
> > Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps
> > genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren
> > Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was
> > passiert also beim Runden?
>
> daher ist mein 1+y =
> [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/[/mm]
Überlege dir folgendes: 1+eps liegt genau in der Mitte zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl. $1+y=1+1/2*eps$ liegt also (a) auch zwischen 1 und der nächsthöheren Gleitkommazahl, aber (b) näher an 1 als an der nächsthöheren Gleitkommazahl. Was passiert also beim Runden?
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo Evelyn!
Huhu :)!
> > > Hallo!
> > >
> > > > a) Wie viele Zahlen enthält F(b,n,m,M) = F(2,2-2,2) ?
> > > > mit Basis b, Mantissenlänge n und Exponent E mit
> m
> > [mm]\le[/mm]
> > > E
> > > > [mm]\le[/mm] M.
> > > >
> > > > b)Zeige, dass eps := 1/2 [mm]\* b^{1-n}[/mm] die Hälfte der Distanz
> > > > zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl in
> > > > F(b,n,m,M), m < 0 < M ist.
> > > >
> > > > c) Sei x = 1 y= 1/2 [mm]\*[/mm] eps b= 10 n [mm]\ge[/mm] 3, m <-n M [mm]\ge[/mm] 1
> > > > Was ist x [mm]\oplus[/mm] y := [mm]Rd_n[/mm] (x+y) ?
> > > > Huhu zusammen:)
> > > >
> > > > Also zur a)
> > > > hab ich durch die Formel:
> > > >
> > > > [mm]b^{m-1} \le |x| \le (1-b^{-n}) \* b^M[/mm] raus, dass
> > > > [mm]\bruch{1}{8} \le[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 3
> > > > also wieviele zahlen? überabzählbare viele
> über
> > [mm]\IR[/mm]
> > > > oder muss ich das hier anders sehen?
> > >
> > > Was ist den eine Gleitkommazahl? Wieviele kann es den
> > > überhaupt nur geben, da du 5 verschiedene lögliche
> > > Exponenten und bei n=2 nur 4 verschiedene Mantissenwerte
> > > hast?
> > Dann gibt es 4 [mm]\*[/mm] 5 Möglichkeiten.
>
> Eben.
>
> > > > zu b)
> > > >
> > > > ich hab mir ma die formel aufgestellt:
> > > >
> > > > [mm]1/2 \* b^{1-n} = \bruch{|1-???|}{2}[/mm] also die Distanz
> > > > zwischen 1 und der nächsten Gleitkommazahl, aber weiß
> > > > nicht wie die Gleitkommazahl in F aussieht daher ???^^
> > >
> > > Du bekommst die nächstgrößere Gleitkommazhal, indem du
> > > die letzte Stelle der Mantisse um 1 erhöhst. Wie sieht
> > > diese Zahl also aus?
> > hmm. ich weiß ja nicht wo die letzte Stelle der
> Mantisse
> > ist, n ist ja nicht gegeben. Die Gleichung an sich geht ja
> > irgendwie nur auf wenn mein??? = [mm]1+b^{1-n}[/mm] ist oder? dann
> > wüsst ich nicht ganz wieso...
>
> Du weisst, dass die Mantisse n Stellen hat, also ist es die
> n-te Stelle die um 1 erhöht wird. Wenn die 1. Stelle den
> Wert 1 hat, bedeutete eine 1 an der n-ten Stelle den Wert
> [mm]b^{n-1}[/mm].
Ah danke für die Erklärung :)
> > > > c)
> > > >
> > > > x+y müsste dann sein:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
> > >
> > > Wo kommt den da die Zahl 8 her?
> >
> > ich hatte es so gemacht: x=1, y = 1/4 [mm]\*[/mm] eps wobei y dann
> > 1/4 [mm]\*[/mm] 1/2 [mm]\* 10^{1-n}[/mm] ist, also [mm]\bruch{10}{8\*10^n}[/mm] und
> > dann die 1 (=x) auf den Bruch erweitert [mm]\bruch{8 \*10^n}{8\*10^n}[/mm]
>
> Also erst einmal steht da [mm]y=1/2*eps[/mm], nicht [mm]y=1/4*eps[/mm].
>
> > > > wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
> > >
> > > Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps
> > > genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren
> > > Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was
> > > passiert also beim Runden?
> >
> > daher ist mein 1+y =
> > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/[/mm]
>
> Überlege dir folgendes: 1+eps liegt genau in der Mitte
> zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl.
> [mm]1+y=1+1/2*eps[/mm] liegt also (a) auch zwischen 1 und der
> nächsthöheren Gleitkommazahl, aber (b)
durch was wird (b) impliziert?
näher an 1 als an
> der nächsthöheren Gleitkommazahl. Was passiert also beim
> Runden?
es wird dann wohl abgerundet, aber die genaue Darstellung weiß ich immer noch nicht. =(
> Viele Grüße
> Rainer
>
Viele liebe Grüße und schonmal ein großes Dankeschön :)
Evelyn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 13.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Evelyn!
> > > > > c)
> > > > >
> > > > > x+y müsste dann sein:
> > > > >
> > > > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
> > > >
> > > > Wo kommt den da die Zahl 8 her?
> > >
> > > ich hatte es so gemacht: x=1, y = 1/4 [mm]\*[/mm] eps wobei y dann
> > > 1/4 [mm]\*[/mm] 1/2 [mm]\* 10^{1-n}[/mm] ist, also [mm]\bruch{10}{8\*10^n}[/mm] und
> > > dann die 1 (=x) auf den Bruch erweitert [mm]\bruch{8 \*10^n}{8\*10^n}[/mm]
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> >
> > Also erst einmal steht da [mm]y=1/2*eps[/mm], nicht [mm]y=1/4*eps[/mm].
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> > > > > wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
> > > >
> > > > Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps
> > > > genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren
> > > > Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was
> > > > passiert also beim Runden?
> > >
> > > daher ist mein 1+y =
> > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/[/mm]
> >
> > Überlege dir folgendes: 1+eps liegt genau in der Mitte
> > zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl.
> > [mm]1+y=1+1/2*eps[/mm] liegt also (a) auch zwischen 1 und der
> > nächsthöheren Gleitkommazahl, aber (b)
>
> durch was wird (b) impliziert?
eps ist eine kleine positive Zahl. Das 1+eps genau in der Mitte zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl liegt, muss 1+eps/2 näher an 1 liegen.
> näher an 1 als an
> > der nächsthöheren Gleitkommazahl. Was passiert also beim
> > Runden?
> es wird dann wohl abgerundet, aber die genaue Darstellung
> weiß ich immer noch nicht. =(
Es gibt ja nur zwei Möglichkeiten: entweder wird aufgerundet auf die nächstgrößere Gleitkommazahl, oder es wird abgerundet auf 1.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo Evelyn!
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> > > > > > c)
> > > > > >
> > > > > > x+y müsste dann sein:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/mm]
> > > > >
> > > > > Wo kommt den da die Zahl 8 her?
> > > >
> > > > ich hatte es so gemacht: x=1, y = 1/4 [mm]\*[/mm] eps wobei y dann
> > > > 1/4 [mm]\*[/mm] 1/2 [mm]\* 10^{1-n}[/mm] ist, also [mm]\bruch{10}{8\*10^n}[/mm] und
> > > > dann die 1 (=x) auf den Bruch erweitert [mm]\bruch{8 \*10^n}{8\*10^n}[/mm]
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> > > Also erst einmal steht da [mm]y=1/2*eps[/mm], nicht [mm]y=1/4*eps[/mm].
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> > > > > > wie runde ich nun? n ist ja nicht mal fest sondern [mm]\ge[/mm] 3...
> > > > >
> > > > > Benutze das Ergebnis aus Teilaufgabe b: du weisst, dass eps
> > > > > genau die Hälfte zwischen 1 und der nächstgrößeren
> > > > > Gleitkommazahl ist. Was ist also 1+y (vor dem Runden)? Was
> > > > > passiert also beim Runden?
> > > >
> > > > daher ist mein 1+y =
> > > > [mm]\bruch{8\*10^n +10}{8\*10^n}[/[/mm]
> > >
> > > Überlege dir folgendes: 1+eps liegt genau in der Mitte
> > > zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl.
> > > [mm]1+y=1+1/2*eps[/mm] liegt also (a) auch zwischen 1 und der
> > > nächsthöheren Gleitkommazahl, aber (b)
> >
> > durch was wird (b) impliziert?
>
> eps ist eine kleine positive Zahl. Das 1+eps genau in der
> Mitte zwischen 1 und der nächstgrößeren Gleitkommazahl
> liegt, muss 1+eps/2 näher an 1 liegen.
>
> > näher an 1 als an
> > > der nächsthöheren Gleitkommazahl. Was passiert also beim
> > > Runden?
> > es wird dann wohl abgerundet, aber die genaue
> Darstellung
> > weiß ich immer noch nicht. =(
>
> Es gibt ja nur zwei Möglichkeiten: entweder wird
> aufgerundet auf die nächstgrößere Gleitkommazahl, oder
> es wird abgerundet auf 1.
Ahhh es wird also auf 1 abgerundet, jetzt versteh ich warum! Danke dir Rainer !
> Viele Grüße
> Rainer
>
Dickes Dankeschön und schönen Abend noch :)
Eve
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