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Martingal Rechenschritte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mo 04.05.2020
Autor: Jellal

Hallo zusammen,

ich habe zwei Fragen zu Rechenschitten zu Martingalen in meinem Skript.

Sei [mm] (M_{t})_{t\ge0}, M_{0}=0, [/mm]  ein zur Filtration [mm] F_{t} [/mm] adaptiertes Martingal, sodass [mm] M_{t}^{2}-t [/mm] auch ein [mm] F_{t} [/mm] -Martingal ist.

Erste Frage: Kann man zeigen, dass die letzte Aussage immer gilt? Oder ist hier gemeint, dass wir ein spezielles Martingal betrachten, welches auch die Eigenschaft hat, dass [mm] M_{t}^{2}-t [/mm] eben auch ein Martingal ist?


Sei nun [mm] f_{t} [/mm] ein einfacher stochastischer Prozess, d.h. man kann schreiben [mm] f=\summe_{i=1}^{N}Z_{i}1_{(t_{i},t_{i+1}]} [/mm] mit Zufallsvariablen [mm] Z_{j}. [/mm]

Zweite Frage: In einem Schritt wird nun geschrieben:

[mm] E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2}) [/mm] = [mm] E(Z_{j}^{2}E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}|F_{t_j})) [/mm]

Also es gilt ja eh immer E(X)=E(E(X|F)) mit einer Sigma-Algebra F. Nur warum steht das [mm] Z_{j} [/mm] dann ausserhalb des inneren Erwartungswerts?

[mm] Z_{j} [/mm] ist unabhaengig von den [mm] M_{j}, [/mm] also muesste man doch erst mal schreiben:
[mm] E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2}) [/mm] = [mm] E(E(Z_{j}^{2}|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}\text{ } |F_{t_j}))= E(E(Z_{j}^{2})E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2} \text{ }|F_{t_j})) [/mm]

vG.
Jellal

        
Bezug
Martingal Rechenschritte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mo 04.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Erste Frage: Kann man zeigen, dass die letzte Aussage immer gilt?

Nein.

>  Oder ist hier gemeint, dass wir ein spezielles
> Martingal betrachten, welches auch die Eigenschaft hat,
> dass [mm]M_{t}^{2}-t[/mm] eben auch ein Martingal ist?

Ja.

Kleiner Vorausblick: Sei $<M>_t$ der qaudratische Variationsprozess von M, dann ist [mm] $M^2_t [/mm] - <M>_t$ ein Martingal.
Im obigen Fall gilt eben $<M>_t = t$
Wenn dir das alles noch nix sagt: Ignorieren.

> Sei nun [mm]f_{t}[/mm] ein einfacher stochastischer Prozess, d.h.
> man kann schreiben
> [mm]f=\summe_{i=1}^{N}Z_{i}1_{(t_{i},t_{i+1}]}[/mm] mit
> Zufallsvariablen [mm]Z_{j}.[/mm]

Und vermutlich soll jedes [mm] Z_j [/mm] auch [mm] $F_{t_j}$-meßbar [/mm] sein, sonst bekommst du später Probleme.

> Zweite Frage: In einem Schritt wird nun geschrieben:
>  
> [mm]E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2})[/mm] =
> [mm]E(Z_{j}^{2}E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}|F_{t_j}))[/mm]
>  
> Also es gilt ja eh immer E(X)=E(E(X|F)) mit einer Sigma-Algebra F. Nur warum steht das [mm]Z_{j}[/mm] dann ausserhalb des inneren Erwartungswerts?

Siehe meine Anmerkung oben: Ist [mm] $Z_j$ [/mm] auch [mm] $F_{t_j}$-meßbar, [/mm] so gilt nach den Rechenregeln der bedingten Erwartung [mm] $E[Z_jX|F_{t_j}] [/mm] = [mm] Z_jE[X|F_{t_j}]$ [/mm]

> [mm]Z_{j}[/mm] ist unabhaengig von den [mm]M_{j},[/mm]

Na das glaube ich nicht…

> also muesste man doch erst mal schreiben:
> [mm]E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2})[/mm] =
> [mm]E(E(Z_{j}^{2}|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}\text{ } |F_{t_j}))= E(E(Z_{j}^{2})E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2} \text{ }|F_{t_j}))[/mm]

Die letzte Gleichung stimmt auch nicht (selbst wenn [mm] Z_j [/mm] unabhängig von [mm] M_j [/mm] wäre)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Martingal Rechenschritte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 04.05.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

>  >  Oder ist hier gemeint, dass wir ein spezielles
> > Martingal betrachten, welches auch die Eigenschaft hat,
> > dass [mm]M_{t}^{2}-t[/mm] eben auch ein Martingal ist?
>  Ja.

Ok, dann habe ich Zeit verschwendet, mit dem Versuch, es zu beweisen...
  

> > Sei nun [mm]f_{t}[/mm] ein einfacher stochastischer Prozess, d.h.
> > man kann schreiben
> > [mm]f=\summe_{i=1}^{N}Z_{i}1_{(t_{i},t_{i+1}]}[/mm] mit
> > Zufallsvariablen [mm]Z_{j}.[/mm]
>  Und vermutlich soll jedes [mm]Z_j[/mm] auch [mm]F_{t_j}[/mm]-meßbar sein,
> sonst bekommst du später Probleme.

Tatsaechlich steht dort nicht explizit etwas ueber die Messbarkeit von [mm] Z_{j}. [/mm] Das hat mich naemlich gewurmt, sonst waere mir klar gewesen, dass das [mm] Z_{j} [/mm] fuer den Erwartungswert bedingt auf die [mm] F_{t_{j}} [/mm] als Konstante betrachtet werden kann.

Es geht thematisch um die Definition des Integrals [mm] \integral_{0}^{\infty}{f_{t} dM_{t}} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{N}Z_{j}(M_{j+1} [/mm] - [mm] M_{j}) [/mm]
In diesem Ding muessen die [mm] Z_{j} [/mm] also auch messbar bzgl. der Filtration sein, an die [mm] M_{t} [/mm] adaptiert ist? Dann sind [mm] f_{t} [/mm] und [mm] M_{t} [/mm] messbar bzgl. der gleichen Sigma-Algebra. Gibt es da einen Begriff fuer, eine Art Sigma-Aequivalenz?

Jedenfalls sind die Dinger dann nicht unabhaengig voneinander, OK.
  

> > also muesste man doch erst mal schreiben:
> > [mm]E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2})[/mm] =
> > [mm]E(E(Z_{j}^{2}|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}\text{ } |F_{t_j}))= E(E(Z_{j}^{2})E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2} \text{ }|F_{t_j}))[/mm]
>  
> Die letzte Gleichung stimmt auch nicht (selbst wenn [mm]Z_j[/mm]
> unabhängig von [mm]M_j[/mm] wäre)

Ah, ich sehe es. Bei dem inneren [mm] E(Z_{j}^{2}) [/mm] fehlt das Konditionieren, sorry.


Bezug
                        
Bezug
Martingal Rechenschritte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Mo 04.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Tatsaechlich steht dort nicht explizit etwas ueber die
> Messbarkeit von [mm]Z_{j}.[/mm] Das hat mich naemlich gewurmt, sonst
> waere mir klar gewesen, dass das [mm]Z_{j}[/mm] fuer den
> Erwartungswert bedingt auf die [mm]F_{t_{j}}[/mm] als Konstante
> betrachtet werden kann.

Da steht auch nicht, dass [mm] Z_j [/mm] vorhersagbar sein soll?

  

> Es geht thematisch um die Definition des Integrals
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f_{t} dM_{t}}[/mm] :=
> [mm]\summe_{i=1}^{N}Z_{j}(M_{j+1}[/mm] - [mm]M_{j})[/mm]

Ja, das definiert man zu Beginn für gewöhnlich für elementare, vorhersagbare Funktionen $f$, denn dann kann man exakt die Umformungen machen, die gemacht wurden.
Siehe dazu auch den []Wikipedia-Artikel

>  In diesem Ding muessen die [mm]Z_{j}[/mm] also auch messbar bzgl. der Filtration sein, an die [mm]M_{t}[/mm] adaptiert ist?

Ja, warum sollte man sie sonst auch [mm] Z_j [/mm] nennen?

>  Dann sind [mm]f_{t}[/mm] und [mm]M_{t}[/mm] messbar bzgl. der gleichen Sigma-Algebra.

Ja, aber aufpassen… [mm] f_t [/mm] ist sogar noch mehr, nämlich vorhersagbar, d.h. [mm] $f_{t_{j+1}}$ [/mm] ist bereits [mm] $F_{t_j}$ [/mm] meßbar, darum heißt es auch vorhersehbar. D.h. zum Zeitpunkt [mm] t_j [/mm] wissen wir bereits, wie sich [mm] f_t [/mm] bis zum Zeitpunkt [mm] $t_{j+1}$ [/mm] verhält.

> Gibt es da einen Begriff fuer, eine Art Sigma-Aequivalenz?

Meßbar ;-)

Aber was du schlichtweg meinst, ist "adaptiert".
Sowohl M als auch f sind adaptiert an [mm] $\mathbb{F}$. [/mm] Da steckt das ja drin, dass und wie sie beide meßbar sind (wobei, siehe oben, f sogar ein bisschen mehr ist).

> > > also muesste man doch erst mal schreiben:
> > > [mm]E(Z_{j}^{2}(M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}})^{2})[/mm] =
> > > [mm]E(E(Z_{j}^{2}|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2}\text{ } |F_{t_j}))= E(E(Z_{j}^{2})E(|M_{t_{j+1}}-M_{t_{j}}|^{2} \text{ }|F_{t_j}))[/mm]
>  
> >  

> > Die letzte Gleichung stimmt auch nicht (selbst wenn [mm]Z_j[/mm]
> > unabhängig von [mm]M_j[/mm] wäre)
>  
> Ah, ich sehe es. Bei dem inneren [mm]E(Z_{j}^{2})[/mm] fehlt das
> Konditionieren, sorry.
>  

Naja… wenn [mm] Z_j [/mm] adaptiert ist, ja, aber dann kannst das E davor auch gleich weglassen.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Martingal Rechenschritte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:53 Mo 04.05.2020
Autor: Jellal

Ok, danke dir Gono!

Ich hab nochmal zurueckgeblaettert. Ganz am Anfang, wo man diese "simple Functions" das erste mal benutzt hat, steht die Messbarkeit noch mit bei, ich gehe also davon aus, dass es von da an immer implizit dazugedacht war.

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