Markow-Kette Schütze Markus < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 20.11.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Der Schütze Markus trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%, Steffen nur mit 50%.
Sie beschließen, dass sie immer abwechselnd auf das Ziel schießen, allerdings so, dass der andere nach jedem Nicht-Treffer weiter schießen darf.
Geben Sie den Zustandsraum an.
Stellen Sie den Sachverhalt in einem Prozessdiagramm und mithilfe einer Übergangsmatrix dar.
Bestimmen Sie dann ausgehend von Markus beginnt die Wahrscheinlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge.
Wie lautet der Fixvektor? |
Moin Moin,
zunächst ist mir nicht ganz klar, was ein Zustandsraum ist. Ich würde hier denken, die Zustände ließen sich mithilfe eines Vektors beschreiben [mm] \vektor{m \\ e}, [/mm] der die Werte [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] d.h. Markus schießt, oder [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] d.h. Steffen schießt annehmen kann.
???
Das Prozessdiagramm
0,2 0,5
Markus -- 0,8 -- > Steffen
< -- 0,5 ---
Wernn ich davon ausgehe, dass die Spalten (von) und die Zeilen (nach) darstellen... ergibt sich eine Übergangsmatrix
[mm] \pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 }
[/mm]
richtig?
Die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Schuß (von Markus) berechnet sich:
[mm] \vektor{1 \\ 0}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,2 \\ 0,5} [/mm]
Finde ich merkwürdig, weil die Wahrscheinlichkeit, dass nun Steffen dran ist (wenn Markus getroffen hat), eigentlich doch 80% betragen müsste???
Der Fixvektor ist der Vektor, der mit der Matix multipliziert wieder den Fixvektor ergibt.
[mm] \vektor{x \\ y}^T*\pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}^T [/mm]
0,2x +0,8y = x
0,5x +0,5y = y
=> x = y
Müsste nicht darüberhinaus gelten x+y = 1 ?
Woraus folgen würde, dass langfrsitg gesehen die Wahrscheinlichkeit dafür dass Markus dran ist 50% beträgt?
Danke & Gruß
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Ich sehe hier 4 Zustände:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] = Markus ist dran
[mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0} [/mm] = Steffen ist dran
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1\\ 0} [/mm] = Markus hat gewonnen
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0\\ 1} [/mm] = Steffen hat gewonnen
wobei man die letzten beiden auch zu einer Komponente "Das Spiel ist aus" zusammenfassen kann.
Statt der einsen sollen aber die Wahrscheinlichkeiten erscheinen.
Startvektor ist [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] = Markus ist dran.
Es muss folgendes gelten:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] wird durch die Matrix A auf [mm] \vektor{0 \\ 0,2\\ 0,8\\ 0} [/mm] abgebildet,
[mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0} [/mm] auf [mm] \vektor{0,5 \\ 0\\ 0\\ 0,5},
[/mm]
die beiden letzten auf sich selber. Diese Matrix musst du finden.
> Das Prozessdiagramm
>
>
> 0,2 0,5
> Markus -- 0,8 -- > Steffen
>
> < -- 0,5 ---
>
>
Nein, der Übergang von Markus zu Steffen ist nur 0,2, er trifft und gewinnt ja mit 0,8.
Wenn du sagst, dass Steffen zu 50 % dran ist, gehst du davon aus, dass "ganz oft" geschossen wird. Da die beiden dann immer abwechseln, sind wirklich beide zu ca. 50 % tätig.
Tatsächlich dauert der Vorgang im Durchschnitt nur 4/3 Schüsse, denn ganz oft gewinnt Markus sofort beim ersten Schuss (falls Steffen beginnt, ist die durchschnittliche Schusszahl 5/3).
Jeder Vektor der Form [mm] \vektor{0 \\ 0\\ a\\ b} [/mm] ist mathematisch gesehen ein Fixvektor, für unser Problem müsste aber a+b=1 und a,b [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Wenn du mit [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] startest und das wiederholt mit Matrix multiplizierst, solltest du "am Ende" [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 8/9\\ 1/9} [/mm] herausbekommen, d.h.: Markus gewinnt mit der W. 8/9 und Steffen mit 1/9 (falls Steffen anfängt mit 5/9 und 4/9).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 22.11.2019 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank für deine Antwort!
Lass mich einen anderen Ansatz probieren. Da von Gewinner/Verlierer in der Aufgabenstellung nicht die Rede ist; auch nicht wieviel Schuss insgesamt bei einem solchen Spiel abgegeben werden, lasse ich die von dir eingeführte Kategorien "Markus gewinnt" bzw. "Steffen gewinnt" außen vor.
"Der Schütze Markus trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%, Steffen nur mit 50%.
Sie beschließen, dass sie immer abwechselnd auf das Ziel schießen, allerdings so, dass der andere nach jedem Nicht-Treffer weiter schießen darf."
1. Zustandsraum
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Zustandsraum die Menge aller Tupel, die die möglichen Zustände beinhalten.
Nach meiner Betrachtung also umfasst der Zustandsraum alle Vektoren [mm] \vektor{m \\ e}, [/mm] die die Wahrscheinlichkeiten enthalten, mit der Markus bzw. Steffen schießt.
Mithin gilt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer 1 sein muss, d.h. m + e = 1.
Wenn Markus beginnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Markus schießt, 100% = 1 und die Wahrscheinlichkeit, dass Steffen schießt, 0% = 0.
D.h. der Anfangszustand ist gegeben durch [mm] \vektor{1 \\ 0}.
[/mm]
2.1. Prozessdiagramm
0,2 0,5
Markus -- 0,8 -- > Steffen
< -- 0,5 ---
Anmerkung: Markus bzw. Steffen dürfen weiterschießen, wenn sie nicht treffen !! s. Aufgabenstellung.
2.2. Übergangsmatrix
Ich weiß zwar nicht, warum mein alter Ansatz zu Widersprüchen führt... mit dem neuen Ansatz s.u. funktioniert es jedenfalls.
-------------------------- Alter Ansatz - Übergangsmatrix --------------------
Wenn ich davon ausgehe, dass die Spalten (von) und die Zeilen (nach) darstellen... ergibt sich eine Übergangsmatrix
M S
[mm] \pmat{ M & 0,2 & 0,5 \\ S & 0,8 & 0,5 }
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Schuß (von Markus) berechnet sich:
[mm] \vektor{1 \\ 0}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,2 \\ 0,5} [/mm]
Finde ich merkwürdig, weil die Wahrscheinlichkeit, dass nun Steffen dran ist (wenn Markus getroffen hat), eigentlich doch 80% betragen müsste???
--------------------------------------------------------
Neuer Ansatz - Übergangsmatrix
Wenn ich davon ausgehe, dass die Zeilen (von) und die Spalten (nach) darstellen... ergibt sich eine Übergangsmatrix
M S
[mm] \pmat{ M & 0,2 & 0,8 \\ S & 0,5 & 0,5 }
[/mm]
3. Wahrscheinlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge
[mm] \vektor{1 \\ 0}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,2 \\ 0,8} [/mm]
[mm] \vektor{0,2 \\ 0,8}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,44 \\ 0,56} [/mm]
[mm] \vektor{0,44 \\ 0,56}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,368 \\ 0,632} [/mm]
[mm] \vektor{0,368 \\ 0,632}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,3896 \\ 0,6104} [/mm]
[mm] \vektor{0,3896 \\ 0,6104}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{0,38312 \\ 0,61688} [/mm]
4. Fixvektor
Der Fixvektor [mm] \vec{v} [/mm] ist derjenige Vektor, der durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix unverändert bleibt.
[mm] \vec{v}^T*A [/mm] = [mm] \vec{v}^T
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}^T [/mm] * [mm] \pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 } [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}^T [/mm]
0,2x +0,5y = x
0,8x +0,5y = y
=> x = [mm] \bruch{5}{8}y
[/mm]
Da ferner gilt x + y = 1
=> x = [mm] \bruch{5}{13} \approx [/mm] 0,3846 y = [mm] \bruch{8}{13} \approx [/mm] 0,6154
[mm] \vektor{\bruch{5}{13} \\ \bruch{8}{13}}
[/mm]
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> Vielen Dank für deine Antwort!
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> Lass mich einen anderen Ansatz probieren. Da von
> Gewinner/Verlierer in der Aufgabenstellung nicht die Rede
> ist; auch nicht wieviel Schuss insgesamt bei einem solchen
> Spiel abgegeben werden, lasse ich die von dir eingeführte
> Kategorien "Markus gewinnt" bzw. "Steffen gewinnt" außen
> vor.
>
>
> "Der Schütze Markus trifft mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 80%, Steffen nur mit 50%.
>
> Sie beschließen, dass sie immer abwechselnd auf das Ziel
> schießen, allerdings so, dass der andere nach jedem
> Nicht-Treffer weiter schießen darf."
"Sie beschließen, dass sie immer abwechselnd auf das Ziel schießen, allerdings so, dass der andere nach jedem Nicht-Treffer weiter schießen darf."
Missverständlich: Dann schießen sie nicht abwechselnd!
Heißt das jetzt: Wenn der ANDERE nicht trifft, schießt ER weiter, bis er trifft oder: Wenn JEMAND nicht trifft, schießt der ANDERE weiter?
Erfolgt der Wechsel nach einem Treffer oder nach einem Fehlschuss?
Du gehst offenbar den Weg: Man schießt so lange, bis man trifft. Ich würde herauslesen: Man schießt so lange, bis man daneben trifft.
Ich hätte entweder geschrieben: "Jeder schießt so lange auf das Ziel, bis er trifft. Dann ist der andere dran"
oder:"Jeder schießt so lange auf das Ziel, bis er nicht mehr trifft. Dann ist der andere dran"
Auf jeden Fall haben wir nun die Fragestellung: Wie groß ist die W., dass bei einem bestimmten Schuss Markus bzw. Steffen dran ist?
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>
> 1. Zustandsraum
> Wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Zustandsraum
> die Menge aller Tupel, die die möglichen Zustände
> beinhalten.
>
> Nach meiner Betrachtung also umfasst der Zustandsraum alle
> Vektoren [mm]\vektor{m \\ e},[/mm] die die Wahrscheinlichkeiten
> enthalten, mit der Markus bzw. Steffen schießt.
>
> Mithin gilt, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer
> 1 sein muss, d.h. m + e = 1.
>
> Wenn Markus beginnt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass
> Markus schießt, 100% = 1 und die Wahrscheinlichkeit, dass
> Steffen schießt, 0% = 0.
>
> D.h. der Anfangszustand ist gegeben durch [mm]\vektor{1 \\ 0}.[/mm]
>
>
> 2.1. Prozessdiagramm
>
> 0,2 0,5
> Markus -- 0,8 -- > Steffen
>
> < -- 0,5 ---
>
>
> Anmerkung: Markus bzw. Steffen dürfen weiterschießen,
> wenn sie nicht treffen !! s. Aufgabenstellung.
>
>
>
> 2.2. Übergangsmatrix
>
> Ich weiß zwar nicht, warum mein alter Ansatz zu
> Widersprüchen führt... mit dem neuen Ansatz s.u.
> funktioniert es jedenfalls.
>
>
> -------------------------- Alter Ansatz - Übergangsmatrix
> --------------------
>
> Wenn ich davon ausgehe, dass die Spalten (von) und die
> Zeilen (nach) darstellen... ergibt sich eine
> Übergangsmatrix
>
> M S
> [mm]\pmat{ M & 0,2 & 0,5 \\ S & 0,8 & 0,5 }[/mm]
>
>
> Die Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Schuß (von Markus)
> berechnet sich:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0,2 \\ 0,5}[/mm]
>
> Finde ich merkwürdig, weil die Wahrscheinlichkeit, dass
> nun Steffen dran ist (wenn Markus getroffen hat),
> eigentlich doch 80% betragen müsste???
Es muss [mm]\pmat{ 0,2 & 0,5 \\ 0,8 & 0,5 }[/mm]*[mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0,2 \\ 0,8}[/mm]
gerechnet werden.
Du rechnest im Folgenden mit den Transponierten Vektoren und Matrizen weiter, dadurch ist das auch richtig.
>
> --------------------------------------------------------
>
>
> Neuer Ansatz - Übergangsmatrix
>
>
> Wenn ich davon ausgehe, dass die Zeilen (von) und die
> Spalten (nach) darstellen... ergibt sich eine
> Übergangsmatrix
>
> M S
> [mm]\pmat{ M & 0,2 & 0,8 \\ S & 0,5 & 0,5 }[/mm]
>
>
> 3. Wahrscheinlichkeiten für die ersten fünf Durchgänge
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0,2 \\ 0,8}[/mm]
> [mm]\vektor{0,2 \\ 0,8}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0,44 \\ 0,56}[/mm]
> [mm]\vektor{0,44 \\ 0,56}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{0,368 \\ 0,632}[/mm]
> [mm]\vektor{0,368 \\ 0,632}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm]
> = [mm]\vektor{0,3896 \\ 0,6104}[/mm]
> [mm]\vektor{0,3896 \\ 0,6104}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm]
> = [mm]\vektor{0,38312 \\ 0,61688}[/mm]
>
>
> 4. Fixvektor
> Der Fixvektor [mm]\vec{v}[/mm] ist derjenige Vektor, der durch
> Multiplikation mit der Übergangsmatrix unverändert
> bleibt.
>
> [mm]\vec{v}^T*A[/mm] = [mm]\vec{v}^T[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{x \\ y}^T[/mm] * [mm]\pmat{ 0,2 & 0,8 \\ 0,5 & 0,5 }[/mm] =
> [mm]\vektor{x \\ y}^T[/mm]
>
> 0,2x +0,5y = x
> 0,8x +0,5y = y
>
> => x = [mm]\bruch{5}{8}y[/mm]
>
>
> Da ferner gilt x + y = 1
>
> => x = [mm]\bruch{5}{13} \approx[/mm] 0,3846 y = [mm]\bruch{8}{13} \approx[/mm]
> 0,6154
>
>
> [mm]\vektor{\bruch{5}{13} \\ \bruch{8}{13}}[/mm]
>
>
Ja, alles richtig, falls nicht meine Ansicht gefragt war.
Dann käme [mm]\vektor{\bruch{5}{7} \\ \bruch{2}{7}}[/mm] heraus.
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