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| Aufgabe | | Eine Urne enthalte 5 Kugeln zum Zeitpunkt 0. Die Kugeln können die Farben schwarz oder weiß haben. In jedem Zeitschritt passiert Folgendes: Wir ziehen zufällig zwei der Kugeln aus der Urne (unabhängig voneinander, mit gleicher Wahrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen). Falls diese unterschiedliche Farben haben, werden beide Kugeln aus der Urne entfernt. Ansonsten werden die beiden Kugeln wieder zurückgelegt. Sei nun [mm] $(X_{n})_{\IN_{0}} [/mm] die Anzahl der weißen Kugeln nach dem n-ten Schritt. Zeige anhand eines konkreten Gegenbeispiels, dass die Markov-Eigenschaft verletzt ist. |
Also ich muss zeigen, dass folgendes gilt
[mm] $\IP\left(X_{n+1}=j\middle|X_{n}=i,X_{n-1}=i_{n-1},...,X_{0}=i_{0}\right)\not=\IP\left(X_{n+1}=j\middle|X_{n}=i\right)$
[/mm]
Aus der Urne werden immer dann Kugeln entfernt, wenn man zwei ungleiche zieht. Nun dachte ich mir folgendes:
[mm] \IP\left(X_{2}=3|X_{1}=3,X_{0}=4\right)=1,
[/mm]
denn wir sind mit 4 weißen Kugeln gestartet. Nach dem ersten Schritt waren nur noch 3 weiße Kugeln da => Wir haben eine schwarze und eine weiße gezogen => wir haben nur noch weiße Kugeln in der Urne. Also können wir nur noch weiße Kugeln ziehen.
Nun sollte ja:
[mm] \IP(X_{2}=3|X_{1}=3)\not= [/mm] 1
sein, damit die MKE verletzt ist.
Ich tue mir aber schwer diese WKt. zu berechnen. Eigentlich dachte ich an so etwas:
[mm] P\left(X_{2}=3|X_{1}=3\right)=&\sum_{i\in\left\{ 1,2,3,4,5\right\} }\frac{P\left(X_{1}=3,X_{2}=3,X_{0}=i\right)}{P\left(X_{1}=3\right)}
[/mm]
[mm] =&\frac{P\left(X_{1}=3,X_{2}=3,X_{0}=4\right)}{P\left(X_{1}=3\right)}+\frac{P\left(X_{1}=3,X_{2}=3,X_{0}=3\right)}{P\left(X_{1}=3\right)}
[/mm]
[mm] =&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{10}}+\frac{\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}}{\frac{3}{10}}
[/mm]
[mm] =&\frac{2}{3}+\frac{1}{30}\\
[/mm]
[mm] =&\frac{7}{10}.
[/mm]
Wenn die Berechnung stimmt hätte ich gezeigt, dass die MKE nicht erfüllt ist. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob es stimmt.
Mfg. Krümmelmonster
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> Eine Urne enthalte 5 Kugeln zum Zeitpunkt 0. Die Kugeln
> können die Farben schwarz oder weiß haben. In jedem
> Zeitschritt passiert Folgendes: Wir ziehen zufällig zwei
> der Kugeln aus der Urne (unabhängig voneinander, mit
> gleicher Wahrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen). Falls
> diese unterschiedliche Farben haben, werden beide Kugeln
> aus der Urne entfernt. Ansonsten werden die beiden Kugeln
> wieder zurückgelegt. Sei nun [mm]$(X_{n})_{\IN_{0}}[/mm] die Anzahl
> der weißen Kugeln nach dem n-ten Schritt. Zeige anhand
> eines konkreten Gegenbeispiels, dass die Markov-Eigenschaft
> verletzt ist.
> Also ich muss zeigen, dass folgendes gilt
>
> [mm]\IP\left(X_{n+1}=j\middle|X_{n}=i,X_{n-1}=i_{n-1},...,X_{0}=i_{0}\right)\not=\IP\left(X_{n+1}=j\middle|X_{n}=i\right)[/mm]
>
> Aus der Urne werden immer dann Kugeln entfernt, wenn man
> zwei ungleiche zieht. Nun dachte ich mir folgendes:
>
> [mm]\IP\left(X_{2}=3|X_{1}=3,X_{0}=4\right)=1,[/mm]
>
> denn wir sind mit 4 weißen Kugeln gestartet. Nach dem
> ersten Schritt waren nur noch 3 weiße Kugeln da => Wir
> haben eine schwarze und eine weiße gezogen => wir haben
> nur noch weiße Kugeln in der Urne. Also können wir nur
> noch weiße Kugeln ziehen.
>
> Nun sollte ja:
>
> [mm]\IP(X_{2}=3|X_{1}=3)\not=[/mm] 1
>
> sein, damit die MKE verletzt ist.
Startest du mit 4 weißen Kugeln, so ist
[mm]\IP\left(X_{2}=3|X_{1}=3,X_{0}=4\right)=1,[/mm], da keine schwarze Kugel mehr vorhanden ist.
Startest du mit 3 weißen Kugeln, so ist
[mm]\IP\left(X_{2}=3|X_{1}=3,X_{0}=3\right)<1,[/mm],
denn nach der 1. Ziehung ist noch nichts passiert, es sind noch alle Kugeln vorhanden, und jetzt könnte für [mm] X_2 [/mm] auch 2 herauskommen.
Insgesamt ist somit[mm]\IP\left(X_{2}=3|X_{1}=3\right)<1,[/mm] der genaue Wert ist unwichtig.
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Hier noch ein Nachtrag:
Zu [mm] x_2=3 [/mm] und [mm] x_1=3 [/mm] gibt es überhaupt nur 2 Möglichkeiten mit von 0 verschiedener Wahrscheinlichkeit:
Ist [mm] x_0=5, [/mm] so bleibt es bei 5, weil keine schwarze Kugel vorhanden ist. Somit [mm] P(x_2=3|x_1=3 [/mm] und [mm] x_0=5)=0
[/mm]
Ist [mm] x_0=4 [/mm] und [mm] x_1=3, [/mm] so sind nur noch 3 weiße Kugeln vorhanden, was sich nicht mehr ändern kann, da die schwarze Kugel fehlt. Somit [mm] P(x_2=3|x_1=3 [/mm] und [mm] x_0=4)=1.
[/mm]
Ist [mm] x_0=3, [/mm] und [mm] x_1=3, [/mm] so liegen noch alle Kugeln in der Urne, und die Wahrscheinlichkeit, dass nun wieder kein unterschiedliches Paar gezogen wird, ist [mm] P(x_2=3|x_1=3 [/mm] und [mm] x_0=3)=2/5.
[/mm]
Für [mm] x_0<3 [/mm] sind die Wahrscheinlichkeiten alle 0.
Es nützt aber nichts, daraus eine Wahrscheinlichkeit für [mm] P(x_2=3|x_1=3) [/mm] berechnen zu wollen, weil diese ja von der uns unbekannten Anfangskonfiguration abhängt. Wir wissen nicht, wie hoch die Wahrschleinlichkeit ist, dass zu Beginn 0, 1, ..., 5 weiße Kugeln in der Urne liegen. Es gibt auch keinen vernünftigen Grund, eine Gleichwahrscheinlichkeit hierfür anzunehmen (dann käme 1,4/6 heraus).
Die Markow-Eigenschaft ist nur deshalb verletzt, weil die Anfangskonfiguration unbekannt bzw. beliebig ist.
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