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| Aufgabe | Ein Planzen-Gen besitze die beiden Allele A und a. Ein Verfahren zur Züchtung reinrassiger Planzen vom Genotyp AA bzw. Aa ist die Selbstbefruchtung. Der Übergang von einer Generation zur nächsten wird dabei durch die Übergangsmatrix
[mm] \Pi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] beschrieben. Sei [mm] (X_{n})_{n \ge 0} [/mm] die zugehörige Markov-Kette. Berechne für beliebiges n die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{n}=P^{Aa}(X_{n}=Aa). [/mm] |
Hallo,
Ich habe eine Lösungsidee zu dieser Aufgabe, bin mir aber sehr unsicher, ob sie so stimmt. Hoffentlich kann mir da jemand weiterhelfen:
Die Übergangsmatrix zum Graphen ist:
[mm] \Pi [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Der Graph sieht so aus (leider kann man hier keine Graphen zeichnen  ):
AA [mm] \to [/mm] AA mit Wahrsch.1 (zeigt auf sich selber)
Aa [mm] \to [/mm] AA mit Wahrsch. 1/4
Aa [mm] \to [/mm] Aa mit Wahrsch. 1/2
Aa [mm] \to [/mm] aa mit Wahrsch. 1/4
aa to aa mit Wahrsch. 1
Die zugehörige Zustandsmenge ist E={AA, Aa, aa}(gibt die Reihenfolge der Übergange in der Matrix an)
Es gilt weiter: [mm] p_{n}=P^{Aa}(X_{n}=Aa) [/mm] = [mm] \Pi^{n} [/mm] (Aa,Aa)= [mm] P^{Aa}(X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n})
[/mm]
Das bedeutet: Ich starte im Zustand Aa (als Startverteilung oben im Exponent von P), und lande nach n Schritten im Zustand Aa ( deswegen [mm] X_{n}= [/mm] Aa).
Um das gesuchte auszurechnen, habe ich eine Rekursionsgleichung aufgestellt, und mit der weitergerechnet mit Hilfe der Markov-Eigenschaft:
[mm] P^{Aa}(X_{n+1}=Aa) [/mm] = [mm] P^{Aa} (X_{1}=AA, X_{n+1}=Aa)+ P^{Aa} (X_{1}=Aa, X_{n+1}=Aa)+ P^{Aa} (X_{1}=aa, X_{n+1}=Aa)= P^{Aa}(X_{1}=AA)*P^{AA}(X_{n}=Aa)+ P^{Aa}(X_{1}=Aa)*P^{Aa}(X_{n}=Aa)+P^{Aa}(X_{1}=aa)*P^{aa}(X_{n}=Aa)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}*0 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}*0= \bruch{1}{4}
[/mm]
Wenn n [mm] \to \infty [/mm] existiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P^{Aa}(X_{n}=Aa) [/mm] = h(Aa)
Für h(Aa) gilt: h(Aa)= [mm] \Pi(Aa,AA)*h(AA)+\Pi(Aa,Aa)*h(Aa)+\Pi(Aa,aa)*h(aa)= \bruch{1}{4} [/mm] (vgl mit oben, es gilt ja z.b. [mm] P^{Aa}(X_{1}=AA)=\Pi(Aa,AA))
[/mm]
Also ist das Ergebnis von [mm] p_{n}=\bruch{1}{4}. [/mm] Stimmt das? Bin mir relativ unsicher. Aber ich hab nur mit den Sätzen (Ergodensatz) und Definitionen aus der Vorlesung gearbeitet.
Danke,
Milka
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:14 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Muss man das alles so kompliziert machen? Ich habe die selbe Formel,
die bei dir irgendwo steht genutzt und war nach einer Zeile fertig
(bin unsicher und komm auch auf was anderes als du)
Die Formel die ich meine ist:
[mm] P^{Aa}(X_n [/mm] = Aa) = [mm] \pi^n [/mm] (Aa,Aa) nun ist die Übergangswahrscheinlichkeit doch
gegeben als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] also kommt raus [mm] (\bruch{1}{2})^n
[/mm]
Kann mal jemand ein Auge drauf werfen?
Binie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Binie,
also ich habe die Aufgabe einfach so gelöst, wie eine Übungsaufgabe, die wir in der Übung besprochen haben. Ich glaube nicht, dass [mm] \Pi^{n}(Aa,Aa)= (\Pi(Aa,Aa))^{n} [/mm] ist, weil das n hier keine Potenz darstellt, sondern das bedeutet, dass ich in Aa starte und nach n beliebigen Schritten in Aa bin.
Ich warte auch noch auf eine Antwort zu meinem Lösungsweg.
Lg, Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 07.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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