Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 31.12.2008 | | Autor: | madeye |
hallo ihr lieben!
ich habe hier ein paar aufgaben, mit denen ich nicht so recht weiterkomme. also:
untersuchen sie folgende reihen mit dem majorantenkriterium auf konvergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm] \bruch{2}{1+n^2} [/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm] \bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm] \bruch{4}{n^3+3n-3} [/mm]
also zu a) haette ich folgenden loesungsansatz:
[mm] \bruch{2}{1+n^2} [/mm] [mm] \le[/mm] [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] und somit koennte ich [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] als majorante verwenden wenn ich die 2 vor das summenzeichen ziehe. somit ist die folge konvergent. ist das denn richtig so??
zu b) dachte ich mir:
[mm] \bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] muesste eigentlich divergent sein, aber ich komme nicht wirklich drauf wie bzw welche majorante man benutzt
und zu c) muesste man den nenner doch irgendwie so umformen dass das "-" verschwindet, konnte man das n denn durch n+2 erstzen oder irgendwie so?
vielen vielen dank schon im vorraus
lg madeye
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo madeye,
bist du auch HP-Fan? 
> hallo ihr lieben!
> ich habe hier ein paar aufgaben, mit denen ich nicht so
> recht weiterkomme. also:
>
> untersuchen sie folgende reihen mit dem majorantenkriterium
> auf konvergenz:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{2}{1+n^2}[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm]
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{4}{n^3+3n-3}[/mm]
>
> also zu a) haette ich folgenden loesungsansatz:
> [mm]\bruch{2}{1+n^2}[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\bruch{2}{n^2}[/mm] und somit koennte ich
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] als majorante verwenden wenn ich die 2 vor
> das summenzeichen ziehe. somit ist die folge [mm] \emph{\underline{Reihe}} [/mm] konvergent.
> ist das denn richtig so?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
>
> zu b) dachte ich mir:
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm] muesste eigentlich divergent
> sein, aber ich komme nicht wirklich drauf wie bzw welche
> majorante man benutzt
Na, du musst doch für Divergenz eine divergente Minorante finden, also eine kleinere Reihe, die divergiert.
So sehr viele divergente Reihen kennt man ja nicht, die bekannteste ist die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Versuche mal, deine Reihe entsprechend gegen (eine Variante der) harmonische(n) Reihe abzuschätzen, verkleinere also deine Reihe, dazu kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern ...
>
> und zu c) muesste man den nenner doch irgendwie so umformen
> dass das "-" verschwindet, konnte man das n denn durch n+2
> erstzen oder irgendwie so?
Wenn dir bekannt ist, dass die Reihen [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergent sind und für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergent sind (die harmnische Reihe mit s=1 also genau die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs ist), kannst du versuchen, mit einer Variante der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ [/mm] eine konvergente Majorante zu finden, vergrößere also deine Reihe entsprechend.
Dazu Zähler vergrößern und/oder Nenner verkleinern ..
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> vielen vielen dank schon im vorraus
> lg madeye
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 31.12.2008 | | Autor: | madeye |
erstmal danke fuer die schnelle antwort!!!! aber jetz hab ich dann doch noch ein paar fragen
zu b)
es ist doch so, dass [mm] \bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] aber damit ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] als minorante verwenden darf muesste es doch kleiner sein als [mm] \bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}} [/mm] und eine andere divergente reihe ist mir nicht bekannt :(
zu c)
also was mir dazu einfallen wuerde, ich muesste irgendwie zeigen, dass [mm] \bruch{4}{n^3+3n-3} [/mm] < [mm] \bruch{4}{n^3+3n} [/mm] < [mm] \bruch{4}{n^3} [/mm] allerdings weiss ich nicht ob dieser schritt [mm] \bruch{4}{n^3+3n-3} [/mm] < [mm] \bruch{4}{n^3+3n} [/mm] zulaessig ist. und ich versteh nicht wie ich den ganzen bruch sonst vergroessern sollte, ich kann ja nicht einfach irgendwelche zahlen in meinen bruch hauen.... irgendwie steh ich hier aufm schlauch... :(
ach ja, ich hab ganz vergessen euch allen einen guten rutsch und ein gutes neues jahr zu wuenschen!!!!! :)
muss ich denn jetz nochmal schreiben dass ich die frage in keinem anderen forum auf keienr anderen internetseite gestellt hab??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 31.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> erstmal danke fuer die schnelle antwort!!!! aber jetz hab
> ich dann doch noch ein paar fragen
>
> zu b)
>
> es ist doch so, dass [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] aber damit ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als minorante
> verwenden darf muesste es doch kleiner sein als
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm] und eine andere divergente reihe
> ist mir nicht bekannt :(
[mm] \bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}
[/mm]
[mm] >\bruch{3}{\wurzel{(n+1)*(n+1)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{\wurzel{(n+1)²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{n+1}
[/mm]
Kommst du damit erstmal weiter?
>
> zu c)
>
> also was mir dazu einfallen wuerde, ich muesste irgendwie
> zeigen, dass [mm]\bruch{4}{n^3+3n-3}[/mm] < [mm]\bruch{4}{n^3+3n}[/mm] <
> [mm]\bruch{4}{n^3}[/mm] allerdings weiss ich nicht ob dieser schritt
> [mm]\bruch{4}{n^3+3n-3}[/mm] < [mm]\bruch{4}{n^3+3n}[/mm] zulaessig ist.
Natürlich ist das zulässig [mm] \bruch{A}{B-c} [/mm] ist für c>0 immer kleiner als [mm] \bruch{A}{B}, [/mm] da du den Nenner vergrösserst.
> und ich versteh nicht wie ich den ganzen bruch sonst
> vergroessern sollte, ich kann ja nicht einfach irgendwelche
> zahlen in meinen bruch hauen.... irgendwie steh ich hier
> aufm schlauch... :(
>
Um einen Bruch zu vergrössern, kann man den Nenner verkleinern oder den Zähler vergrössern.
> ach ja, ich hab ganz vergessen euch allen einen guten
> rutsch und ein gutes neues jahr zu wuenschen!!!!! :)
Dir auch, danke
> muss ich denn jetz nochmal schreiben dass ich die frage in
> keinem anderen forum auf keienr anderen internetseite
> gestellt hab??
>
Nein, nicht nötig, das musst du nur bei der Diskussionseröffnung
Marius
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Hallo nochmal,
> erstmal danke fuer die schnelle antwort!!!! aber jetz hab
> ich dann doch noch ein paar fragen
>
> zu b)
>
> es ist doch so, dass [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Hmm, stimmt denn diese Abschätzung überhaupt?
> aber damit ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als minorante
> verwenden darf muesste es doch kleiner sein als
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{n(n+1)}}[/mm] und eine andere divergente reihe
> ist mir nicht bekannt :(
Du brauchst auch keine andere
Eben, selbst wenn die obige Abschätzung stimmte, hättest du nun eine divergente Majorante, also eine größere divergente Reihe. Das bringt im Sinne des Vergleichskriteriums (oder Majorantenkriteriums) ja nix
Du musst schon eine divergente Minorante finden, deine Reihe also verkleinern, wie du oben bemerkt hast.
Einen Weg dazu hat dir Marius ja aufgezeigt ...
> ach ja, ich hab ganz vergessen euch allen einen guten
> rutsch und ein gutes neues jahr zu wuenschen!!!!! :)
Ebenso
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 01.01.2009 | | Autor: | madeye |
ein wunderschoenes gutes neues jahr wuensch ich euch allen zuerst mal!!
also, ich glaube die b) hab ich jetzt genschnallt!
ich wuerde den ansatz von marius nuzten und somit
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{n+1} [/mm] = [mm] \sum_{k=2}^{\infty} \bruch{3}{k} [/mm] und somit kann ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] als minorante nutzen!
aber bei der c) kapier ich nicht wie [mm] \bruch{A}{B} [/mm] > [mm] \bruch{A}{B-c} [/mm] sein soll, also wenn wir mal richtige zahlen einsetzen [mm] \bruch{2}{5} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5-3} [/mm] = 1 und damit ist der schritt [mm] \bruch{4}{n^3+3n-3}<\bruch{4}{n^3+3n} [/mm] nicht zulaessig, und wie ich den bruch sonst aendere, also durch verkleinerung bzw vergroesserung von nenner/zaehler will mir einfach nicht in den kopf... hilfe.... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 01.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ein wunderschoenes gutes neues jahr wuensch ich euch allen
> zuerst mal!!
>
> also, ich glaube die b) hab ich jetzt genschnallt!
>
> ich wuerde den ansatz von marius nuzten und somit
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{n+1}[/mm] = [mm]\sum_{k=2}^{\infty} \bruch{3}{k} [/mm]
> und somit kann ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als minorante nutzen!
Kannst du. Beachte aber evtl. noch den Index.
>
> aber bei der c) kapier ich nicht wie [mm]\bruch{A}{B}[/mm] >
> [mm]\bruch{A}{B-c}[/mm] sein soll, also wenn wir mal richtige zahlen
> einsetzen [mm]\bruch{2}{5}[/mm] < [mm]\bruch{2}{5-3}[/mm] = 1 und damit ist
> der schritt [mm]\bruch{4}{n^3+3n-3}<\bruch{4}{n^3+3n}[/mm] nicht
> zulaessig, und wie ich den bruch sonst aendere, also durch
> verkleinerung bzw vergroesserung von nenner/zaehler will
> mir einfach nicht in den kopf... hilfe.... :(
Ich schrieb doch vorher:
"$ [mm] \bruch{A}{B-c} [/mm] $ ist für c>0 immer kleiner als $ [mm] \bruch{A}{B}, [/mm] $"
Also [mm] \bruch{A}{B-c}<\bruch{A}{B}
[/mm]
Und das passt doch, selbst wenn ich mir Beispiel vornehme, es ist doch [mm] \bruch{2}{5}<\bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 01.01.2009 | | Autor: | madeye |
Ich schrieb doch vorher:
>
> "[mm] \bruch{A}{B-c}[/mm] ist für c>0 immer kleiner als
> [mm]\bruch{A}{B}, [/mm]"
>
> Also [mm]\bruch{A}{B-c}<\bruch{A}{B}[/mm]
>
> Und das passt doch, selbst wenn ich mir Beispiel vornehme,
> es ist doch [mm]\bruch{2}{5}<\bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1[/mm]
aber das ist es doch gerade nicht, [mm] \bruch{A}{B-c} \hat= \bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1 [/mm] und [mm] \bruch{A}{B} \hat= \bruch{2}{5}
[/mm]
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Hallo madeye,
> Ich schrieb doch vorher:
> >
> > "[mm] \bruch{A}{B-c}[/mm] ist für c>0 immer kleiner als
> > [mm]\bruch{A}{B}, [/mm]"
> >
> > Also [mm]\bruch{A}{B-c}<\bruch{A}{B}[/mm]
> >
> > Und das passt doch, selbst wenn ich mir Beispiel vornehme,
> > es ist doch [mm]\bruch{2}{5}<\bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1[/mm]
>
> aber das ist es doch gerade nicht, [mm]\bruch{A}{B-c} \hat= \bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1[/mm]
> und [mm]\bruch{A}{B} \hat= \bruch{2}{5}[/mm]
>
>
Ja, du hast Recht.
Ich glaube, ich hatte ganz oben schon geschrieben, dass du einen Bruch vergrößerst, indem du den Zähler vergrößerst und/oder den Nenner verkleinerst
Wenn du also von [mm] $\frac{A}{B-c}$ [/mm] mit $c>0$ ausgehst, so ist ja sicher $B-c<B$, du ziehst ja von B etwas positives ab
Also richtig [mm] $\frac{A}{B-c}>\frac{A}{B}$
[/mm]
Mit dieser Umformung (+c) vergrößerst du also den Nenner und verkleinerst damit den Bruch
Für deine letzte Aufgabe brauchst du die andere Richtung, du musst den Nennes des Bruchs [mm] $\frac{4}{n^3+3n-3}$ [/mm] verkleinern
Bedenke, dass [mm] $n^3+3n-3=n^3+3(n-1)$ [/mm] ist und [mm] $3(n-1)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Do 01.01.2009 | | Autor: | madeye |
vielen vielen dank, jetzt hats klick gemacht!
da 3n-1 [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm] n^3 [/mm] + 3(n-1) [mm] \ge n^3 [/mm] und somit passt das ganze!!
vielen vielen dank an euch alle! ihr habt mir wirklich super geholfen!
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Hallo Marius,
> Ich schrieb doch vorher:
>
> "[mm] \bruch{A}{B-c}[/mm] ist für c>0 immer kleiner als
> [mm]\bruch{A}{B}, [/mm]"
Mit diesen Vorgaben vergrößerst du von [mm] $\frac{A}{B-c}$ [/mm] zu [mm] $\frac{A}{B}$ [/mm] den Nenner und verkleinerst damit den Bruch
>
> Also [mm]\bruch{A}{B-c}<\bruch{A}{B}[/mm]
Nee, andersherum (zumindest, wenn wie hier in (c) die Brüche positiv sind)
>
> Und das passt doch, selbst wenn ich mir Beispiel vornehme,
> es ist doch [mm]\bruch{2}{5}<\bruch{2}{5-3}=\bruch{2}{2}=1[/mm]
>
> Marius
LG
schachuzipus
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