Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mi 12.11.2008 | | Autor: | dmeey |
| Aufgabe | # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^{n}+Cos(n)}{3^{n}-3}
[/mm]
Mithilfe des Majoranten bzw. Minorantenkriteriums die Konvergenz bzw. Divergenz beweisen. |
Egal wie ich das Beispiel wende und drehe, ich kriege keine vernünftige Majorante hin. Hätte ich im Nenner eine positive Konstante, d.h. "+3", dann könnte ich die einfach in der Majorante weglassen. Wie stell ich das jedoch bei diesem Beispiel an? Mit Indexverschiebung komm ich in diesem Fall leider auch nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dmeey,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zugegebenermaßen etwas grob abgeschätzt, aber es gilt doch:
[mm] $$\bruch{2^{n}+\red{\cos(n)}}{3^{n}-3} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{2^{n}+\red{2^n}}{3^{n}-3} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 12.11.2008 | | Autor: | dmeey |
Danke erstmals für die rasche Antwort ;)
Den Cos kann ich ja mit allen Werten >= 1 ersetzen, allerdings bereiten mir die -3 im Nenner Kopfzerbrechen. Irgendwie fehlt mir da komplett der Ansatz wie ich an sowas rangehen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dmeey!
$$ [mm] \bruch{2^{n}+\red{\cos(n)}}{3^{n}-3} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{2^{n}+\red{2^n}}{3^{n} \ \blue{-3}} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{2*2^{n}}{3^{n} \ \blue{+0}} [/mm] \ = \ ... $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | dmeey |
In diesem Fall vergrößere ich ja den Nenner, dann wird der ganze Ausdruck doch kleiner, also ist die Beziehung 'größer' doch nicht angebracht?
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Hallo dmeey,
> In diesem Fall vergrößere ich ja den Nenner, dann wird der
> ganze Ausdruck doch kleiner, also ist die Beziehung
> 'größer' doch nicht angebracht?
Ja, du hast recht, die Abschätzung ist falsch, aber du kannst dir schnell überlegen, dass ab $n=2$ gilt: [mm] $3^n-3\ge 3^{n-1}$
[/mm]
Damit und mit Loddars Abschätzung für den Zähler solltest du nun schnell auf eine leicht modifizierte geometrische Reihe als konvergente Majorante zu deiner Ausgangsreihe kommen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 12.11.2008 | | Autor: | dmeey |
D.h. ich habe dann im Prinzip:
[mm] \bruch{2 * 2^{n}}{\bruch{3^{n}}{3}} [/mm] = 6 * [mm] (\bruch{2}{3})^{n}
[/mm]
und das ist dann konvergent, da 2/3 < 1 ist.
und [mm] 3^{n} [/mm] - 3 [mm] \ge 3^{n-1} [/mm] kann ich beispielweise mit Induktion beweisen:
[mm] 3^{n+1} [/mm] - 3 [mm] \ge [/mm] 3 * [mm] 3^{n} [/mm] - 3 - 6 = 3 * [mm] (3^{n} [/mm] - 3) [mm] \ge [/mm] 3 * [mm] 3^{n-1} [/mm] = [mm] 3^{n}
[/mm]
den gültigen Induktionsanfang zeige ich jetzt nicht mehr. Aber im Prinzip läufts so ab?
Klingt auf jeden Fall vernünftig. Ich hoffe ich kann jetzt mit diesem Hintergedanken die anderen Beispiele angehen.
Danke für die rasche Hilfe ;)
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Hallo nochmal,
> D.h. ich habe dann im Prinzip:
>
> [mm]\bruch{2 * 2^{n}}{\bruch{3^{n}}{3}}[/mm] = 6 * [mm](\bruch{2}{3})^{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, ich habe auch die geometrische Reihe [mm] $6\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ [/mm] als konvergente Majorante heraus
>
> und das ist dann konvergent, da 2/3 < 1 ist.
>
> und [mm]3^{n}[/mm] - 3 [mm]\ge 3^{n-1}[/mm] kann ich beispielweise mit
> Induktion beweisen:
>
> [mm]3^{n+1}[/mm] - 3 [mm]\ge[/mm] 3 * [mm]3^{n}[/mm] - 3 - 6 = 3 * [mm](3^{n}[/mm] - 3) [mm]\ge[/mm] 3
> * [mm]3^{n-1}[/mm] = [mm]3^{n}[/mm]
>
> den gültigen Induktionsanfang zeige ich jetzt nicht mehr.
> Aber im Prinzip läufts so ab?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, so passt's!
>
> Klingt auf jeden Fall vernünftig. Ich hoffe ich kann jetzt
> mit diesem Hintergedanken die anderen Beispiele angehen.
> Danke für die rasche Hilfe ;)
>
LG
schachuzipus
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