Magnetfeld in einer Spule < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Di 01.06.2010 | | Autor: | poiwell |
| Aufgabe | Ich soll das Magnetfeld in einer Zylinderspule berechnen. Dazu konkret:
[mm] \fedon\mixonDGL: \bruch{\partial^2H}{\partial r^2}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial H}{\partial r}=\bruch{\partial H}{\partial r} [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und t [mm] \ge [/mm] 0
Anfangsbedingungen: H=0 für t=0 und -1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und t [mm] \ge [/mm] 0
Randbedingungen: H + [mm] \bruch{1}{2} \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = 1 für r=+-1 , [mm] \forall\ [/mm] t>=0.
Wähle N element [mm] \IN, [/mm] bezeichne [a,b]:=[-1,1] und überziehe das Gebiet (a,b) [mm] \times (0,\infty) [/mm] mit einem Gitter, bei dem die Gitterpunkte gegeben sind durch [mm] (a+i\Delta r,n\Delta [/mm] t), für i = 1,...,N, mit [mm] \Delta r=(b-a)/(N+1),\Delta [/mm] t>0, und n=1,2,3,.... Bezeichne mit [mm] H_i^n [/mm] den Funktionswert H( i [mm] \Delta [/mm] x,n [mm] \Delta [/mm] t).
[mm] \fedoff
[/mm]
Löse dieses Anfangs-Randwertproblem. |
Soweit zur Aufgabe.
Ich habe die DGL soweit jetzt diskretisiert:
[mm] \fedon\mixon H_i^{n+1} [/mm] - [mm] H_i^n [/mm] = [mm] \bruch{\Delta t}{(\Delta r)^2} (H_{i-1}^n [/mm] - [mm] 2H_i^n [/mm] + [mm] H_{i+1}^n) [/mm] + [mm] \bruch{\Delta t}{2r_i \Delta r} (H_{i-1}^n [/mm] - [mm] H_{i+1}^n)
[/mm]
[mm] \fedoff
[/mm]
Da ich leider nicht der hellste in numerische Mathematik bin komme ich jetzt weiter.
[mm] \fett [/mm] der nächste Schritt wäre jetzt das ganze in eine Matrix zu wandeln um dann mit numerischen Verfahren die ganze Sache zu lösen.
Leider bekomme ich den Schritt von der Gleichung zur Matrix nicht hin. Die benötigte Form ist ja Ax=b. Ich komme mit den Indizies nicht zurecht.
Welche H´s kommen in den x und welche in b Vektor?
Muss ich den Fertigen Algorythmus zum Lösen des LGS dann für jede Zeitstufe einzeln Laufen lassen ?
Ich glaub das Problem liegt bei dass ich mir das ganze schlecht vorstellen kann.
Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir irgendwie helfen könntet.
mfg Christoph
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=140384
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 03.06.2010 | | Autor: | max3000 |
> Ich soll das Magnetfeld in einer Zylinderspule berechnen.
> Dazu konkret:
>
> [mm]\fedon\mixonDGL: \bruch{\partial^2H}{\partial r^2}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial H}{\partial r}=\bruch{\partial H}{\partial r}[/mm]
Bei der rechten Seite meinst du bestimmt [mm] \bruch{\partial H}{\partial t} [/mm] oder?
> für -1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1 und t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Anfangsbedingungen: H=0 für t=0 und -1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1 und t
> [mm]\ge[/mm] 0
>
> Randbedingungen: H + [mm]\bruch{1}{2} \bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
> = 1 für r=+-1 , [mm]\forall\[/mm] t>=0.
>
> Wähle N element [mm]\IN,[/mm] bezeichne [a,b]:=[-1,1] und
> überziehe das Gebiet (a,b) [mm]\times (0,\infty)[/mm] mit einem
> Gitter, bei dem die Gitterpunkte gegeben sind durch
> [mm](a+i\Delta r,n\Delta[/mm] t), für i = 1,...,N, mit [mm]\Delta r=(b-a)/(N+1),\Delta[/mm]
> t>0, und n=1,2,3,.... Bezeichne mit [mm]H_i^n[/mm] den Funktionswert
> H( i [mm]\Delta[/mm] x,n [mm]\Delta[/mm] t).
> [mm]\fedoff[/mm]
>
> Löse dieses Anfangs-Randwertproblem.
> Soweit zur Aufgabe.
>
> Ich habe die DGL soweit jetzt diskretisiert:
>
> [mm]\fedon\mixon H_i^{n+1}[/mm] - [mm]H_i^n[/mm] = [mm]\bruch{\Delta t}{(\Delta r)^2} (H_{i-1}^n[/mm]
> - [mm]2H_i^n[/mm] + [mm]H_{i+1}^n)[/mm] + [mm]\bruch{\Delta t}{2r_i \Delta r} (H_{i-1}^n[/mm]
> - [mm]H_{i+1}^n)[/mm]
> [mm]\fedoff[/mm]
Sieht doch ganz gut aus.
> Da ich leider nicht der hellste in numerische Mathematik
> bin komme ich jetzt weiter.
Du hast das ganze mit den Euler-Vorwärts-Verfahren diskretisiert. Das gute an dem Verfahren ist dass die Berechnung des nächsten Zeitschritts sehr einfach ist, weil du das ganze jetzt nach [mm] H_i^{n+1} [/mm] umstellen kannst. Die Werte auf dem n-ten Zeitschritt hast du ja alle gegeben. Für n=0 ist das gerade deine Anfangsbedingung. Also brauchst du für dieses Verfahren kein Gleichungssystem. Das bräuchtest du bei einem impliziten Verfahren, d.h. wenn mehrere H auf dem Zeitschritt n+1 gesucht wären.
Also machst du jetzt folgendes:
- nach [mm] H_i^{n+1} [/mm] umstellen
- Für i=1,N-1 musst du etwas aufpassen, weil da die Randbedingungen greifen. Für diese Fälle würde ich die Gleichungen einfach nochmal aufstellen. Beachte zum Beispiel, dass [mm] H_0^{n+1}=1-\bruch{1}{2}f'(-1) [/mm] ist.
- [mm] H_i^{n+1} [/mm] für alle i=1,...,N-1 mit der umgestellten Formel umrechnen
- [mm] H_1^{n+1} [/mm] und [mm] H_{N-1}^{n+1} [/mm] mit deiner Formel mit den eingesetzten Randwerten seperat berechnen.
- Und dann iterieren
> Muss ich den Fertigen Algorythmus zum Lösen des LGS dann
> für jede Zeitstufe einzeln Laufen lassen ?
Für den Fall dass du ein Gleichungssystem hättest, ja.
Aber auch hier musst du halt erstmal für festes N alle [mm] H_i^{n+1} [/mm] berechnen, dann n erhöhen und das ganze nochmal, und so weiter.
> Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir irgendwie helfen
> könntet.
>
>
> mfg Christoph
mfg Max
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