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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Do 12.04.2007 | | Autor: | Brocky |
| Aufgabe | Sei f(x) die siebente Ableitung von [mm] x->(x^2-1)^{10}, [/mm] sei g(x) die siebente Ableitung von [mm] x->(x^2-1)^7, [/mm] sei h(x) die dritte Ableitung von [mm] x->(x^2-1)^5.
[/mm]
(a) Was ist die Mächtigkeit von {x [mm] \in [/mm] (-1,1)|f(x)=0}?
(b) Was ist die Mächtigkeit von {x [mm] \in [/mm] (-1,1)|g(x)=0}?
(c) Was ist die Mächtigkeit von {x [mm] \in [/mm] (-1,1)|h(x)=0}? |
Also ich weiß, daß die Lösungen a) 7, b) 7 und c) 3 sind. Aber warum das so ist, kann ich mir schlecht vorstellen.
Der Satz von Rolle sagt zwar, daß die 1. Ableitung eine Nullstelle in dem Intervall hat, aber man kann doch schlecht daraus folgern, daß es bei der 7. Ableitung dann sieben Nullstellen sind.
Ich bitte um schnelle Hilfe, Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 29.04.2007 | | Autor: | lch |
Du hast es hier also nach ausmultiplizieren mit irgendwelchen Polynomen zu tun. Wenn du ein Polynom ableitest, dann sinkt der Grad um genau eins. Also fällt genau eine Nullstelle weg bzw. hat dein Polynom, welches du abgeleitet hast, eine Nullstelle mehr als das abgeleitete.
Jetzt schaust du dir dein Polynom an. Drin steckt [mm] x^2-1, [/mm] das hat genau Nullstellen in -1 und 1, die bleiben auch Null wenn du sie hoch 10 nimmst. Du weißt jetzt dank dem Satz von Rolle, dass die Ableitung zwischen den Rändern eine Nullstelle hat. Was passiert mit den Rändern beim Ableiten? Kettenregel, innere Ableitung mal äußere Ableitung, d.h. der [mm] x^2-1 [/mm] Term bleibt über die äußere Ableitung immer als Faktor erhalten! (des ganzen Polynoms, nach Ausklammern) Also bleiben die Ränder Nullstellen.
Und jetzt hast du nach dem ersten Ableiten eine neue Nullstelle zwischen diesen. Du kannst auf beide Teilabschnitte vom Intervall (-1,1) die durch die Nullstelle entstehen (man kann sich vorstellen, wo die wegen Symmetrie liegen muß, nämlich in Null...), den Satz von Rolle anwenden. An jedem Endpunkt hast du ja eine Nullstelle. Du hast also nach nochmaligem Ableiten, mit Satz von Rolle, zwei neue Nullstellen, in diesen Teilintervallen.
Kann die Nullstelle vom ersten Ableiten weiterhin Nullstelle beim zweiten Ableiten bleiben? Nein, denn dann hättest du nach einmal ableiten zwei neue Nullstellen erhalten, also einen Sprung im Grad des Polynoms von 2 durchgeführt. Also hast du beim zweiten Ableiten einen Wechsel von einer auf zwei Nullstellen. Genauso kannst du dann weitermachen, du zerteilst dein Intervall immer zwischen den Nullstellen und wendest dann auf die Teile den Satz von Rolle an. Alte Nullstellen verschwinden mit dem Grad-Argument. Eventuell muß man bei der mittleren Aufgabe aufpassen.
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