Mächtigkeit einer Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zu Teilaufgabe a korrigieren könnte.
Ich gehe diese Aufgabe wie folgt an und schreibe zunächst die Menge B um, indem ich das Paar $(b,a)$ als Mengen schreibe [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a, \{ a \}, \{ a, b \} \}$:
[/mm]
Teilaufgabe a)
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ \emptyset \}$
[/mm]
$(B [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ 42,\emptyset, \{ a \} \}$ [/mm] (das Element a sowie die Menge [mm] $\{ a, b \}$ [/mm] fallen weg)
$(A [mm] \backslash [/mm] B) = [mm] \{ b \}$ [/mm] (das Element a sowie die Menge [mm] $\{ a, b \}$ [/mm] fallen weg)
Daraus ergibt sich folgendes kartesische Produkt:
[mm] $\{ \emptyset \} \times \{ 42,\emptyset, \{ a \} \} \times \{ b \}$
[/mm]
Wegen der Produktregel $|M [mm] \times [/mm] N| = |M| [mm] \cdot [/mm] |N|$ schreibe ich:
[mm] $|\{ \emptyset \}| \cdot |\{ 42,\emptyset, \{ a \} \}| \cdot |\{ b \}| [/mm] = 0 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 = 0$
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Huhu,
> es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösung zu
> Teilaufgabe a korrigieren könnte.
na dann wollen wir mal.
> Ich gehe diese Aufgabe wie folgt an und schreibe zunächst
> die Menge B um, indem ich das Paar [mm](b,a)[/mm] als Mengen
> schreibe [mm]B:=\{ 42,\emptyset,a, \{ a \}, \{ a, b \} \}[/mm]:
umschreiben kannst du das nicht!
Denn die Menge [mm] $\{a,b\}$ [/mm] ist was anderes als das Tupel $(b,a)$.
Und wo kommt das zusätzluche [mm] $\{a\}$ [/mm] her in der Menge?
Für die Lösung der Aufgabe ändert das erstmal aber nichts, weil du nur ein Element durch ein anderes ersetzt. Solange du es später wieder zurückschreibst, wäre das kein Problem.
Du könntest B auch formell ganz umschreiben in
[mm] $B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$ [/mm] mit [mm] $b_1=42, b_2=\emptyset, b_3 [/mm] = a, [mm] b_4=(a,b)$
[/mm]
Das macht die Sache sicherlich einfacher.
> Teilaufgabe a)
>
> [mm](\mathcal P(A) \backslash A) = \{ \emptyset \}[/mm]
Nein, wie kommst du darauf?
Gibt es denn Elemente von A die auch in [mm] $\mathcal{P}(A)$ [/mm] liegen? Wenn ja, welche, wenn nein, warum nicht?
> [mm](B \backslash A) = \{ 42,\emptyset, \{ a \} \}[/mm] (das Element
> a sowie die Menge [mm]\{ a, b \}[/mm] fallen weg)
Nein! Hier gilt jetzt: Eine Menge ist was anderes, als ein Tupel! Und a ist was anderes als [mm] $\{a\}$!
[/mm]
> Daraus ergibt sich folgendes kartesische Produkt:
>
> [mm]\{ \emptyset \} \times \{ 42,\emptyset, \{ a \} \} \times \{ b \}[/mm]
>
> Wegen der Produktregel [mm]|M \times N| = |M| \cdot |N|[/mm]
> schreibe ich:
>
> [mm]|\{ \emptyset \}| \cdot |\{ 42,\emptyset, \{ a \} \}| \cdot |\{ b \}| = 0 \cdot 2 \cdot 1 = 0[/mm]
Hier machst du wieder einen Fehler.
[mm] $\{\emptyset\}$ [/mm] ist was anderes als [mm] \emptyset
[/mm]
Es gilt zwar [mm] $|\emptyset|= [/mm] 0$, aber [mm] $|\{\emptyset\}| \not= [/mm] 0$.
Wenn du verstanden hast, was der Unterschied ist, bekommst du sicherlich auch den korrekten Wert raus, abgesehen von deinen Fehlern oben.
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Danke Gono für die rasche Reaktion. 
> Denn die Menge [mm]\{a,b\}[/mm] ist was anderes als das Tupel
> [mm](b,a)[/mm].
> Und wo kommt das zusätzluche [mm]\{a\}[/mm] her in der Menge?
Mein Gedanke war der hier: $(b,a) := [mm] \{ \{a\} \{a,b\} \}$
[/mm]
So stand es zumindest im Skript aus dem Vorjahr. Aber inzwischen sehe ich selbst, dass mich das hier nicht weiter bringt.
Erneuter Versuch:
[mm] $\mathcal [/mm] P(A) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{ a,b \},\{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{ a,b \}\}\}$
[/mm]
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}\}\}$
[/mm]
$(B [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ 42,\emptyset,(b,a) \}$
[/mm]
$(A [mm] \backslash [/mm] B) = [mm] \{ b,\{ a,b \} \}$
[/mm]
Daraus ergibt sich folgendes kartesische Produkt (vorausgesetzt ich habe es oben nicht wieder vermasselt):
[mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}\}\} \times \{ 42,\emptyset,(b,a) \} \times \{ b,\{ a,b \} \}$
[/mm]
Wegen der Produktregel [mm]|M \times N| = |M| \cdot |N|[/mm] schreibe ich:
[mm] $|\{ \emptyset, \{a\}, \{b\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}\}\}| \cdot |\{ 42,\emptyset,(b,a) \}| \cdot |\{ b,\{ a,b \} \}| [/mm] = 6 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 3 = 54$
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
EDIT:
Ist das bei der b) richtig?
$(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \backslash [/mm] B=$
[mm] $\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),$
$(b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),$
$(\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}$
[/mm]
Die Aufgabe fortzusetzen, macht wohl nur dann einen Sinn, wenn ich weiß, ob das richtig ist...
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Huhu,
> Erneuter Versuch:
na dann auf ein Neues 
> [mm]\mathcal P(A) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{ a,b \},\{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{ a,b \}\}\}[/mm]
Leider nicht. Da fehlt die Hälfte. Wieviele Elemente hat denn die Potenzmenge einer 4 elementigen Menge?
Da fehlen alle Teilmengen mit 2 Elementen, so sind die hin.
> [mm](\mathcal P(A) \backslash A) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}\}\}[/mm]
Demzufolge ist das auch falsch, da passieren dann nämlich noch mehr schöne Dinge
> [mm](B \backslash A) = \{ 42,\emptyset,(b,a) \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](A \backslash B) = \{ b,\{ a,b \} \}[/mm]
> EDIT:
> Ist das bei der b) richtig?
> [mm](A \times B) \backslash B=[/mm]
>
> [mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
> [mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
>
> [mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
>
Also was du hier hingeschrieben hast ist A$ [mm] \times [/mm] B$, allerdings hast du B davon noch nicht abgezogen. Was ist denn jetzt in [mm] $A\times [/mm] B$ drin und ebenfalls in B und müsste demzufolge bei [mm] $(A\times B)\setminus [/mm] B$ herausfallen?
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Hallo Gono,
danke für die Hilfe.
> Leider nicht.
Das wäre ja auch zu schön gewesen.
> Da fehlt die Hälfte. Wieviele Elemente hat
> denn die Potenzmenge einer 4 elementigen Menge?
> Da fehlen alle Teilmengen mit 2 Elementen, so sind die
> hin.
[mm] $2^{4}=16$
[/mm]
Ich habe die Menge [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] als dreielementige Menge aufgefasst...
Die Menge hier enthält nur 8 Elemente:
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A)) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\},\{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\} [/mm] $
Ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich auf 16 Elemente kommen kann?
(Erklärung gerne auch in Worten, denn das Tippen von LaTeX-Code möchte ich an dieser Stelle niemandem zumuten. )
Teilaufgabe b)
[mm](A \times B)=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob ich nur die zweite Komponente der Paare streichen muss, falls das Element in B auftritt, oder sturr die erste und zweite Komponente betrachten muss...?
Die Chancen stehen 50/50 und die erste "Option" klingt für mich plausibler, deshalb:
[mm](A \times B) \backslash B=[/mm]
[mm]\{(a),(a),(a),(a,),[/mm]
[mm](b),(b),(b),(b),[/mm]
[mm](\{a,b\}),(\{a,b\}),(\{a,b\}),(\{a,b\},(b))\}[/mm]
Gruß
el_grecco
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Huhu,
> > Da fehlt die Hälfte. Wieviele Elemente hat
> > denn die Potenzmenge einer 4 elementigen Menge?
> [mm]2^{4}=16[/mm]
> Ich habe die Menge [mm]A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}[/mm] als
> dreielementige Menge aufgefasst...
Da hast du natürlich recht.
> Die Menge hier enthält nur 8 Elemente:
> [mm](\mathcal P(A)) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\},\{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}[/mm]
Jetzt auch richtig
> Ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich auf 16 Elemente
> kommen kann?
Kannst du auch nicht: [mm] 2^3 [/mm] = 8.
Mit der Vier war ein Flüchtigkeitsfehler meinerseits, änderte aber nichts daran, dass die Potenzmenge vorher falsch war
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich nur die zweite Komponente
> der Paare streichen muss, falls das Element in B auftritt,
> oder sturr die erste und zweite Komponente betrachten
> muss...?
[mm] $A\times [/mm] B$ besteht doch aus Tupeln
Wann sind zwei Tupel gleich?
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Hallo Gono,
danke für Deine Antwort.
[mm](\mathcal P(A)) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\},\{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}[/mm]
Fällt bei [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A)$ nur das [mm] $\{a,b\}$ [/mm] an der rot markierten Stelle weg, oder überall wo es vorkommt, also auch an den grün markierten Stellen?
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, { \color{Red} \{a,b\} },\{a,{ \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{b, { \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{a,b,{ \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, { \color{OliveGreen} \{a,b\} }\}\}$
[/mm]
Teilaufgabe b)
> [mm]A\times B[/mm] besteht doch aus Tupeln
> Wann sind zwei Tupel gleich?
"In Verallgemeinerung von Peanos Paaraxiom wird der Begriff des Tupels durch ein in zwei Versionen vorliegendes Tupelaxiom charakterisiert:
1. Zwei Tupel gelten genau dann als gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind.
2. Zwei gleichlange Tupel gelten genau dann als gleich, wenn ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind."
[mm](A \times B)=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
Leider sehe ich (noch) nicht, wie ich das Tupelaxiom auf die gesuchte Menge [mm](A \times B) \backslash B[/mm] anwenden kann...?
Wäre super, wenn Du das "Rätsel" auflöst und mir sagst, was gestrichen werden muss.
Gruß
el_grecco
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Huhu,
> Fällt bei [mm](\mathcal P(A) \backslash A)[/mm] nur das [mm]\{a,b\}[/mm] an
> der rot markierten Stelle weg, oder überall wo es
> vorkommt, also auch an den grün markierten Stellen?
>
> [mm](\mathcal P(A) \backslash A) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, { \color{Red} \{a,b\} },\{a,{ \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{b, { \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{a,b,{ \color{OliveGreen} \{a,b\} }\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, { \color{OliveGreen} \{a,b\} }\}\}[/mm]
ok, hier wird klar dass du ein grösseres Problem mit der Element <-> Mengen Beziehung hast.
Für dich als Übungsaufgabe: Schreibe mal alle Elemente von [mm] $\mathcal{P}(A)$ [/mm] auf.
Am besten in der Form: [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \emptyset, \ldots, x_8=A$
[/mm]
Nun genauso die Elemente von B: [mm] $y_1 [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Und dann guckst du, ob du irgendwo [mm] $x_j [/mm] = [mm] y_i$ [/mm] gilt. Und genau das sind die Elemente, die wegfallen.
Das beantwortet dann deine Frage
> [mm](A \times B)=[/mm]
> [mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
> [mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
>
> [mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
>
> Leider sehe ich (noch) nicht, wie ich das Tupelaxiom auf
> die gesuchte Menge [mm](A \times B) \backslash B[/mm] anwenden
> kann...?
Ganz einfach: In [mm] $A\times [/mm] B$ kommt nur ein Tupel vor, was auch in B ist, nämlich $(b,a)$, also muss das wegfallen!
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Danke für Deine Geduld, Gono!
> Und dann guckst du, ob du irgendwo [mm]x_j = y_i[/mm] gilt. Und
> genau das sind die Elemente, die wegfallen.
> Das beantwortet dann deine Frage
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A)) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\},\{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}$
[/mm]
Hoffentlich habe ich es nicht erneut vermasselt:
[mm] $(\mathcal [/mm] P(A)) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}$
[/mm]
Teilaufgabe b)
[mm](A \times B)=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
> Ganz einfach: In [mm]A\times B[/mm] kommt nur ein Tupel vor, was
> auch in B ist, nämlich [mm](b,a)[/mm], also muss das wegfallen!
[mm](A \times B) \backslash B=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
[mm]\mathcal P(A \times B) \backslash B=...[/mm]
[mm] $2^{11}=2048$ [/mm] Entweder ich habe das falsch, oder die verlangen tatsächlich, dass man das niederschreibt. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
$A [mm] \cup B=\{\emptyset, a, b, \{a,b\}, 42, (b,a)\}$
[/mm]
Gruß
el_grecco
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Huhu,
> Hoffentlich habe ich es nicht erneut vermasselt:
>
> [mm](\mathcal P(A)) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}[/mm]
Du hast eindeutig Zuviel nachgedacht bei meiner Arbeitsanweisung
Wieso fehlen da jetzt die beiden Elemente {a} und {b}?
Ich sehe in A nur die Elemente a und b, was aber andere sind als {a} und {b}
a - Das Element a
{a} - Die Menge, die das Element a enthält!
Das ist ein Unterschied.
[mm] \mathcal{P}(A) [/mm] enthält offensichtlich {a}, aber A nicht, also kann es nicht wegfallen.
Anders sieht das doch mit {a,b} aus. Das ist sowohl in [mm] \mathcal{P}(A) [/mm] enthalten als auch in A, somit fällt es weg.
Deutlich verstanden?
> Teilaufgabe b)
>
> [mm](A \times B)=[/mm]
> [mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
> [mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
>
> [mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
> > Ganz einfach: In [mm]A\times B[/mm] kommt nur ein Tupel vor, was
> > auch in B ist, nämlich [mm](b,a)[/mm], also muss das wegfallen!
>
> [mm](A \times B) \backslash B=[/mm]
>
> [mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
> [mm](b,42),(b,\emptyset),(b,(b,a)),[/mm]
> [mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
Korekt!
> [mm]\mathcal P(A \times B) \backslash B=...[/mm]
>
> [mm]2^{11}=2048[/mm] Entweder ich habe das falsch, oder die
> verlangen tatsächlich, dass man das niederschreibt.
>
Du hast es korrekt und Nein, sie wollen das nicht
Aber wenn du verstanden hast, welche Elemente eine Potenzmenge enthält, geht das recht fix!
Eine Potenzmenge ist doch eine Menge von Teilmengen!
D.h. du musst nur schauen, ob B Mengen enthält, wenn nicht, passiert gar nichts.
Wenn ja, musst du gucken, ob dieses Element auch in der Potenzmenge vorkommt.
Wenn ja, wird es entfernt, wenn nicht, ändert sich nix.
> [mm]A \cup B=\{\emptyset, a, b, \{a,b\}, 42, (b,a)\}[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Di 30.11.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke Gono,
> > [mm](\mathcal P(A)) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\}[/mm]
Sorry!!!
Da ist beim Copy & Paste etwas mächtig schiefgelaufen (passiert mir sonst eigentlich nie).
Tut mir echt Leid.
$ [mm] (\mathcal [/mm] P(A)) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\} [/mm] $
$ [mm] (\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) = [mm] \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,\{a,b\}\},\{b, \{a,b\}\},\{a,b,\{a,b\}\},\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\} [/mm] $
> Du hast es korrekt und Nein, sie wollen das nicht
> Aber wenn du verstanden hast, welche Elemente eine
> Potenzmenge enthält, geht das recht fix!
>
> Eine Potenzmenge ist doch eine Menge von Teilmengen!
> D.h. du musst nur schauen, ob B Mengen enthält, wenn
> nicht, passiert gar nichts.
> Wenn ja, musst du gucken, ob dieses Element auch in der
> Potenzmenge vorkommt.
> Wenn ja, wird es entfernt, wenn nicht, ändert sich nix.
>
> > [mm]A \cup B=\{\emptyset, a, b, \{a,b\}, 42, (b,a)\}[/mm]
>
>
Ich mache besser morgen weiter, denn sonst passiert mir erneut ein Missgeschick wie oben.
Vielen Dank soweit
&
einen schönen Abend!
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Hallo Gono,
sorry nochmal wegen meinem kleinen Missgeschick mit dem Copy & Paste gestern Abend, aber anscheinend saß ich schon zu lange davor...
Bei der Teilaufgabe a) erhalte ich schließlich die Mächtigkeit $7 [mm] \* [/mm] 3 [mm] \* [/mm] 2=42$ und damit das gleiche Ergebnis wie schotti.
Teilaufgabe b) zur besseren Übersicht nochmals von Anfang an:
[mm](A \times B)=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,a),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
[mm](A \times B) \backslash B=[/mm]
[mm]\{(a,42),(a,\emptyset),(a,a),(a,(b,a)),[/mm]
[mm](b,42),(b,\emptyset),(b,(b,a)),[/mm]
[mm](\{a,b\},42),(\{a,b\},\emptyset),(\{a,b\},a),(\{a,b\},(b,a))\}[/mm]
[mm]|\mathcal P(A \times B) \backslash B|=2^{11}=2048[/mm]
[mm]A \cup B=\{\emptyset, a, b, \{a,b\}, 42, (b,a)\}[/mm]
> Eine Potenzmenge ist doch eine Menge von Teilmengen!
> D.h. du musst nur schauen, ob B Mengen enthält, wenn
> nicht, passiert gar nichts.
> Wenn ja, musst du gucken, ob dieses Element auch in der
> Potenzmenge vorkommt.
> Wenn ja, wird es entfernt, wenn nicht, ändert sich nix.
In der Menge [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right)$ [/mm] fällt die leere Menge weg, also nur noch 2047 Elemente.
Für die Anzahl der Elemente in [mm] $\mathcal [/mm] P(B)$ gilt [mm] $2^{4}=16$ [/mm] und das hat keine Auswirkungen auf den bisherigen Stand.
Schließlich:
[mm] $|\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B)|=2047$
Gruß
el_grecco
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| Aufgabe | Es seien [mm] $A:=\{ a,b,\{ a,b \} \}$ [/mm] und [mm] $B:=\{ 42,\emptyset,a,(b,a) \}.$ [/mm] Es sollen die Mächtigkeiten der folgenden Mengen bestimmt werden:
a) [mm] $(\mathcal [/mm] P(A) [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \times [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B).$
b) [mm] $\left( \mathcal P((A \times B) \backslash B) \backslash (A \cup B) \right) \backslash \mathcal [/mm] P(B).$ |
Hallo Gono,
> Wie würdest du das denn Begründen, dass
> [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] sonst keine weiteren Elemente aus [mm]A \cup B[/mm]
> enthält?
> Beschreibe mir doch mal die Elemente von
> [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm], was sind das alles?
> Gibt es sowas in [mm]A \cup B[/mm] ?
[mm]A \cup B[/mm] enthält neben der leeren Menge nur Paare, aber keine Menge von Paaren, wie sie in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] vorhanden sind. Entsprechend fällt in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] nur die leere Menge weg.
> > Für die Anzahl der Elemente in [mm]\mathcal P(B)[/mm] gilt [mm]2^{4}=16[/mm]
>
> Genau
>
> > und das hat keine Auswirkungen auf den bisherigen Stand.
>
> Warum nicht? Hier fehlt noch die Begründung. Das geht aber
> auch recht fix, wenn du weißt, wie [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm]
> aussieht und dass es nur ein Element in [mm]\mathcal{P}(B)[/mm]
> gibt, was auch so eine Form hat.
In [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] sind neben der leeren Menge nur Mengen von Paaren vorhanden. Die leere Menge ist ja bereits weg (siehe oben) und das Tupel $(b,a)$ existiert seit einem noch früheren Zwischenschritt nicht mehr, entsprechend kann es keine Menge [mm] $\{(b,a)\}$ [/mm] in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] geben.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Huhu
> [mm]A \cup B[/mm] enthält neben der leeren Menge nur Paare, aber
> keine Menge von Paaren, wie sie in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm]
> vorhanden sind. Entsprechend fällt in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm]
> nur die leere Menge weg.
Ja und Nein.
[mm] $A\cup [/mm] B$ enthält auch einzelne Elemente, nicht nur Paare.
> In [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm] sind neben der leeren Menge nur
> Mengen von Paaren vorhanden. Die leere Menge ist ja bereits
> weg (siehe oben) und das Tupel [mm](b,a)[/mm] existiert seit einem
> noch früheren Zwischenschritt nicht mehr, entsprechend
> kann es keine Menge [mm]\{(b,a)\}[/mm] in [mm]\mathcal{P}(A\times B)[/mm]
> geben.
Genau
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | schotti |
P(A) ohne A enthält [mm] 2^3-1=7 [/mm] elemente
B/A enthält 3 elemente (nur a fliegt raus)
A/B enthält 2 elemente (wiederum fliegt a raus)
also ist die lösung [mm] 7\cdot 3\cdot [/mm] 2 = 42.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 30.11.2010 | | Autor: | schotti |
also noch zu teil b)
AxB enthält [mm] 3\cdot [/mm] 4=12 elemente.
eines davon ist (b,a), welches anschliessend wieder entfernt wird:
(AxB) ohne B enthält also 11 elemente.
diese elemente sind vom typ paare!
P((AxB) ohne B) enthält [mm] 2^{11} [/mm] elemente.
diese elemente sind mengen von paaren!
A vereinigt mit B enthält keine mengen von paaren, dafür allerdings die leere menge, die in der obigen potenzmenge natürlich - wie immer in potenzmengen - als element mit drin ist, also:
P((AxB) ohne B) ohne (A vereinigt mit B) enthält [mm] 2^{11}-1 [/mm] elemente.
diese elemente sind weiterhin mengen von paaren!
P(B) enthält neben vielem anderem unwichtigem die leere menge und eine einzige menge von paar(en), nämlich {(b,a)}. die leere menge wurde aber bereits hinausgeworfen, und das paar (b,a) kam bereits in (AxB) ohne B nicht mehr vor.
es bleibt also bei [mm] 2^{11}-1 [/mm] elementen.
warnung: lösung ohne gewähr. kann gut sein, dass ich in der eile etwas übersehen habe...
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