ML-Schätzer bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $ [mm] X_{1} [/mm] $ ~ $ [mm] \beta(1,\theta+1), [/mm] $
mit
$ [mm] f(x,\theta)=((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x) [/mm] $
Bestimme den ML-Schätzer für $ [mm] \theta [/mm] $ |
[mm] L(X_{1},....,X_{n},\theta) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} ((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x)
[/mm]
[mm] =(\theta+1)^{n}*\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}*11_{0,1}(minX_{i})*11_{0,1}(maxX_{i})
[/mm]
[mm] logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n*log(\theta+1)+..........
[/mm]
So ab hier steck ich fest. Ich weiß dass es eine Regel gibt, wo das Produktzeichen beim logarithmieren zur Summe wird.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]X_{1}[/mm] ~ [mm]\beta(1,\theta+1),[/mm]
> mit
> [mm]f(x,\theta)=((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x)[/mm]
>
> Bestimme den ML-Schätzer für [mm]\theta[/mm]
> [mm]L(X_{1},....,X_{n},\theta)[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} ((\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x)[/mm]
Hinter dem Zeichen [mm] \produkt [/mm] ist kein Laufindex [mm]i [/mm] !!
Weiter fehlt noch eine Klammer, oder ist eine zuviel
>
> [mm]=(\theta+1)^{n}*\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}*11_{0,1}(minX_{i})*11_{0,1}(maxX_{i})[/mm]
>
>
>
> [mm]logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n*log(\theta+1)+..........[/mm]
>
> So ab hier steck ich fest. Ich weiß dass es eine Regel
> gibt, wo das Produktzeichen beim logarithmieren zur Summe
Ist a= [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_i*b*c, [/mm] so ist
$log(a) = [mm] \summe_{i=1}^{n}log(a_i)+log(b)+log(c)$
[/mm]
Immer schön nach der Regel:
$log(x*y)=log(x)+log(x)$
FRED
> wird.
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$ [mm] L(X_{1},....,X_{n},\theta) [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{i=1}^{n} (\theta+1)\cdot{}(1-x)^{\theta}\cdot{} 11_{0,1}(x) [/mm] $
$ [mm] =(\theta+1)^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(1-x)^{\theta}\cdot{}11_{0,1}(minX_{i})\cdot{}11_{0,1}(maxX_{i}) [/mm] $
$ [mm] logL(X_{1},....,X_{n},\theta)=n\cdot{}log(\theta+1)+\theta*\summe_{i=1}^{n} [/mm] log(1-x)
Nun nach [mm] \theta [/mm] ableiten:
[mm] \bruch{d}{d\theta}= \bruch{n}{\theta+1}+\summe_{i=1}^{n} [/mm] log(1-x)
Nun Ableitung =0 setzen und nach [mm] \theta [/mm] auflösen:
[mm] \theta= \bruch{n}{-\summe_{i=1}^{n} log(1-x)}-1
[/mm]
Da die zweite Ableitung <0, folgt dass die ein ML-Schätzer ist.
Ist es so richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 16.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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