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ML-Schätzer: geom. Verteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mi 11.01.2012
Autor: mikexx

Aufgabe
Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig und identisch [mm] $\operatorname{Geo}(p)$ [/mm] verteilte Zufallsvariablen. Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $p$.

Hinweis: Dichte der geometrischen Verteilung: [mm] $P(X=k)=p\cdot (1-p)^k$ [/mm]


Hallo,

also ich hab wohl irgendwo einen Rechenfehler, sehe aber nicht wo.

Also zuerst habe ich die Likelihood-Fkt. aufgestellt:

[mm] $L(x_1,...,x_n|p)=P_p(X_1=x_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot P_p(X_n=x_n)=p^n\cdot (1-p)^{\sum_{i=1}^{n}x_i}$ [/mm]

Dann ist die log-Likelihood:

[mm] $\log L(x_1,...,x_n|p)=\log\left(p^n\right)+\log\left((1-p)^{\sum_{i=1}^{n}x_i}\right)=n\cdot\log(p)+\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot\log((1-p))$ [/mm]

Wenn ich nach $p$ ableite, erhalte ich:

[mm] $\frac{\partial}{\partial p}\log L(x_1,...,x_n|p)=\frac{n}{p}+\sum_{i=1}^n x_i\cdot\frac{1}{p-1}$ [/mm]

Nullstelle hiervon ist [mm] $p=\frac{n}{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)+n}$. [/mm]



Das $+n$ im Nenner stört, denn ich habe gelesen, daß der ML-Schätzer [mm] $\overline{X}^{-1}$ [/mm] ist...

Wer kann mir vllt. sagen, wo mein Fehler ist?



Viele Grüße

mikexx

        
Bezug
ML-Schätzer: Irrtum?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Mi 11.01.2012
Autor: mikexx

Ich habe gerade gesehen, daß es zwei mögliche Parametrisierungen der geometrischen Verteilung gibt.

Es ist - wenn ich's korrekt verstanden habe - so, daß der ML-Schätzer für die Parametrisierung, die ich nehmen soll, [mm] [b]nicht[/b]$\overline{X}^{-1}$ [/mm] ist, sondern daß mein Ergebnis okay ist.

Anders geschrieben lautet mein Ergebnis, daß

[mm] $\left(1+\overline{X}\right)^{-1}$ [/mm] der gesuchte ML-Schätzer für $p$ ist.

Korrekt?

Bezug
        
Bezug
ML-Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mi 11.01.2012
Autor: luis52

Moin,

wie du schon selber gemerkt hast, gibt es zwei Formen der geom. Verteilung. Bei der einen beschreibt die ZV die Anzahl der Versuche insgesamt, die andere die Anzahl der Fehlversuche bevor der erste Treffer eintritt. Im ersten Fall realisieren sich die Werte [mm] 1,2,3,\dots, [/mm] im zweiten die Werte [mm] 0,1,2,\dots [/mm] "Dein" ML-Schaetzer  ist fuer den zweiten Fall zustaendig, [mm] $1/\bar [/mm] X$ fuer den ersten. (Was auch vernuenftig ist.)

vg Luis

Bezug
                
Bezug
ML-Schätzer: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:23 Mi 11.01.2012
Autor: mikexx

Ich freue mich, daß ich's richtig gemacht habe.

Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.

Bezug
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