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| Aufgabe | 1) Seien [mm] X_1,..,X_n [/mm] ZG mit [mm] X_i\sim\mathcal{N}(\mu_i,\sigma^2), [/mm] dann ist die gemeinsame Dichte [mm] p(x,\mu,\sigma^2)=(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_i)(x_i-\mu_i))
[/mm]
2) Seien $ [mm] X_1,..,X_n [/mm] $ unabhängige k-dimensionale $ [mm] \mathcal{N}_k(\mu_i,\Sigma)-verteilte [/mm] $ ZG, dann ist die gemeinsame Dichte $ [mm] p(x,\mu,\Sigma)=(2\pi|\Sigma|^{1/k})^{-kn/2}\exp{(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_i)\Sigma^{-1}(x_i-\mu_i)^T)} [/mm] $
Sei $ [mm] \{p(\cdot,\theta)|\theta\in \Theta\} [/mm] $ ein reguläres Modell und $ [mm] \Theta=\Theta_0\oplus \Theta_1 [/mm] $. Die verallgemeinerte Likelihood-Quotienten-Statistik ist
$ [mm] L(X)=\frac{\sup_{\theta\in \Theta} p(X,\theta)}{\sup_{\theta\in \Theta_0} p(X,\theta)} [/mm] $
und der zugehörige verallgemeinerte LQ-Test
$ [mm] \delta(X)=\mathbbm{1}_{\left\lbrace L\left(X\right)>c\right\rbrace } c\in \mathbb{R}^{+} \cup \left\lbrace \infty \right\rbrace. [/mm] $ |
Hallo zusammen,
ich möchte den Likelihood-Qoutienten bestimmen.
Für den Fall 1) ist [mm] \theta=(\mu,\sigma^2)\in (W_r\times \IR^{+})=\Theta, [/mm] wobei [mm] W_r [/mm] ein r-dimensionaler Unterraum des [mm] \IR^n [/mm] ist. Und [mm] \Theta_0=(W_1\times\IR^{+}). [/mm] Um [mm] \sup_{\theta\in \Theta} p(X,\theta) [/mm] und [mm] \sup_{\theta\in \Theta_0} p(X,\theta) [/mm] zu bestimmen muss der Term [mm] \sum_{i=1}^n(x_i-\mu_i)(x_i-\mu_i)=\|x-\mu\|^2 [/mm] minimiert werden, was über die Projektionen $ [mm] \hat \mu^1(x)=P_{W_1}(x) [/mm] $ bzw. [mm] \hat \mu^r(x)=P_{W_r}(x) [/mm] geschieht. Dann muss [mm] \sigma^2 [/mm] so gewählt werden das [mm] p(X,\theta) [/mm] maximal wird. Ableiten und 0-gesetzt von [mm] \frac{d}{d\sigma^2}log(p(X,\theta)) [/mm] liefert [mm] \hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\hat \mu_i(x))(x_i-\hat \mu_i(x)). [/mm] Eingesetzt in die Dichten ergibt für [mm] L(X)=\left(\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu^1_i)^2 }{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu^r_i)^2 }\right)^{n/2}
[/mm]
2) Fall: Der ML-Schätzer für die [mm] \Sigma [/mm] ist [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\hat \mu_i(x))(x_i-\hat \mu_i(x))^T, [/mm] so dass man für den LQ-Test einen Quotienten [mm] $\left(\frac{det(\hat\Sigma_0(x))}{det(\hat\Sigma(x))}\right)^{n/2}$ [/mm] aus Determinanten der Matrizen erhält, da die [mm] x_i [/mm] in dem Fall Vektoren sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Reduktion |
stimmt das soweit?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 07.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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