MC: bedingte W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
[mm] (\Omega, [/mm] A, P ) Wahrscheinlichkeitsraum, Mengen A,B,C [mm] \in [/mm] A
mit P(B [mm] \cap [/mm] C) > 0 sowie P(B) < 1.
Welche der folgenden Aussagen sind i.A. falsch?
(1) P(A | [mm] B^c) [/mm] + P(A | B) = 1
(2) P(A [mm] \cap [/mm] B | C) = P(A | B [mm] \cap [/mm] C)P(B | C)
(3) P(A | B) [mm] \Rightarrow [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)P(B)
(4) P(C) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(B | C) = P(B)
(5) P(C) = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] P(A | B [mm] \cap [/mm] C) = P(A | B) |
Ich konnte anhand von Gegenbeispielen zeigen, dass die Aussagen (1) & (3) falsch sind. Ebenso ist es mir gelungen zu beweisen das (2) wahr ist.
Bei den Aussagen (4) & (5) würde ich eigentlich ebenfalls dazu tendieren dass die Aussagen wahr sind. Jedoch befürchte ich irgendwie, dass ich vielleicht doch noch was übersehen habe, weil mir die Überlegungen doch ein wenig sehr einfach erscheinen ;)
zu (4) P(B | C) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(C)}
[/mm]
= [mm] \bruch{P(B)}{1} [/mm] = P(B)
zu (5) P(A | B [mm] \cap [/mm] C) = P(A | B) wegen P(C) = 1 trivial?!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 16.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben:
> [mm](\Omega,[/mm] A, P ) Wahrscheinlichkeitsraum, Mengen A,B,C [mm]\in[/mm]
> A
> mit P(B [mm]\cap[/mm] C) > 0 sowie P(B) < 1.
>
> Welche der folgenden Aussagen sind i.A. falsch?
> (1) P(A | [mm]B^c)[/mm] + P(A | B) = 1
> (2) P(A [mm]\cap[/mm] B | C) = P(A | B [mm]\cap[/mm] C)P(B | C)
> (3) P(A | B) [mm]\Rightarrow[/mm] P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A)P(B)
> (4) P(C) = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] P(B | C) = P(B)
> (5) P(C) = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] P(A | B [mm]\cap[/mm] C) = P(A | B)
> Ich konnte anhand von Gegenbeispielen zeigen, dass die
> Aussagen (1) & (3) falsch sind. Ebenso ist es mir gelungen
> zu beweisen das (2) wahr ist.
>
> Bei den Aussagen (4) & (5) würde ich eigentlich ebenfalls
> dazu tendieren dass die Aussagen wahr sind. Jedoch
> befürchte ich irgendwie, dass ich vielleicht doch noch was
> übersehen habe, weil mir die Überlegungen doch ein wenig
> sehr einfach erscheinen ;)
>
> zu (4) P(B | C) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(C)}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{P(B)}{1}[/mm] = P(B)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu (5) P(A | B [mm]\cap[/mm] C) = P(A | B) wegen P(C) = 1
> trivial?!?
Hallo,
wenn P(C)=1, dann [mm] C=\Omega. [/mm] (und [mm] B\cap \Omega [/mm] = B).
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 16.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
@abakus: Die Aussage [mm] "$P(C)=1\Rightarrow C=\Omega$" [/mm] ist i.a. nicht korrekt.
vg Luis
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Nach näherem Überlegen, ist Aussage (3) glaube ich doch richtig...
hatte in meinem "Gegenbeispiel" eine falsche Aussage verwendet, kann da irgendwer was zu sagen? Habe 5 Beispiel mengen A,B konstruiert und jedes mal klappte es...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Fr 19.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Die Aussage (4) ist korrekt: Wegen [mm] $0\le P(B\cap\overline{C})\le P(\overline{C})=0$ [/mm] gilt [mm] $$P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap \overline{C})=P(B\cap C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}=P(B\mid C)\,.$$
[/mm]
(Beweis stammt von einem Freund, ist aber trotzdem prima  )
Die Aussage (5) ist korrekt: Mit einem analogen Argument wie oben ist [mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)= [mm] P(A\cap [/mm] B)$ und [mm] $P(B\cap [/mm] C)= P(B)$. Folglich ist
[mm] $$\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\iff P(A\mid B\cap C)=P(A\mid B)\,.$$
[/mm]
vg Luis
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