www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - Lp-Räume
Lp-Räume < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lp-Räume: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 14.05.2012
Autor: favourite

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Sei $p \in \IR$, $2 \le p < \infty$. Seien $f, g \in L^{p}(\Omega,\lambda)$. Zeige, dass
$\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)} \le \bruch{1}{2}\parallel f \parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel g \parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)$.
Hinweis: Verwende $a^{q}+b^{q} \le (a+b)^{q}$ für $q \ge 1$ und $a, b \in \IR$ mit $0 \le a, b$

Hallo Ihr Lieben,

ich komme bei der Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Meine bisherigen Überlegungen:

$\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)} = \bruch{1}{2}\parallel \f f+g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \f f-g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}
\le (\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)})^{p}
\le \bruch{1}{2}\parallel \f f+g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\bruch{1}{2}\parallel \f f-g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}$

Bei der ersten Ungleichung habe ich den Hinweis, d. h. die Konvexität angewendet. Aber das war es auch. Ich komme nicht weiter!

Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

favourite

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Lp-Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Mo 14.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

eins Vorweg: Klammersetzung beachten!
Einige deiner Umformungen machen keinen Sinn, wenn keine Klammern dastehen (sind sogar schlichtweg falsch).
Beachte das daher bitte in Zukunft.

Zu deiner Frage:

[mm] $||f+g||^p [/mm] + [mm] ||f-g||^p [/mm] = [mm] \integral_\IR |f+g|^p\,d\lambda [/mm] + [mm] \integral_\IR |f-g|^p\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_\IR |f+g|^p+ |f-g|^p\,d\lambda \overbrace{\le}^{\text{Tipp}} \integral_\IR \left(|f+g|+ |f-g|\right)^p\,d\lambda [/mm] =  [mm] \integral_\IR (2*\max\{f,g\})^p\,d\lambda [/mm] = [mm] ||2\max\{f,g\}||^p$ [/mm]

Nun weiter im Text.

edit: gerade festgestellt: Das stimmt nur so halb, da [mm] $2\max\{f,g\} [/mm] = f + g - |f-g|$, aber der Ansatz ist wohl trotzdem zielführend :-)

MFG,
Gono

Bezug
                
Bezug
Lp-Räume: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:51 Mo 14.05.2012
Autor: favourite

Hi Gono,

ich danke Dir für die Antwort. Ich bin leider verwirrter den je. Ich sehe nicht, wie ich damit die rechte Seite der Ungleichung erreicht. So habe ich nicht gerechnet. :(((

Gruß
favourite

Bezug
                        
Bezug
Lp-Räume: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Do 17.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]