Lotfußpunkt im R3 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Nala1285 |
Hallo,
ich soll den Lotfußpunkt und den Abstand für folgende Gerade g und den Punkt P berechnen. Und das ganze im dreidimensionalem Raum.
Dass die Gerade durch den Lotfußpunkt und den Punkt P senkrecht zu g sein muss, um möglichst kurz zu sein, weiß ich. aber ich weiß nicht wie ich das mathematisch umsetzen kann.
g: r = (0/1/3) + Lambda (4/1/-1)
P (-9/1/13)
Danke schonmal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nala
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich soll den Lotfußpunkt und den Abstand für folgende
> Gerade g und den Punkt P berechnen. Und das ganze im
> dreidimensionalem Raum.
> Dass die Gerade durch den Lotfußpunkt und den Punkt P
> senkrecht zu g sein muss, um möglichst kurz zu sein, weiß
> ich. aber ich weiß nicht wie ich das mathematisch umsetzen
> kann.
>
Na das ist doch schon die halbe Lösung! Und da sind auch schon mehrere Lösungsansätze drin:
1) Das mit dem Senkrecht stehen
2) Das mit dem minimalen Abstand
Ich will mal 2) verwenden:
Stell dir vor, da wandert ein Punkt Q auf der Geraden $g$, und du musst einfach den Abstand von diesem Punkt $Q$ zu $P$ berechnen!
Dann hat Q die Koordinaten [mm] $(4\lambda,1+\lambda,3-\lambda)$
[/mm]
P hat die Koordinaten $(-9,1,13)$
Wenn du nun den Abstand zwischen $P$ und $Q$ berechnest, dann erhältst du eine Funktion von [mm] $\lambda$. [/mm] Damit diese minimal wird, musst du nur, wie du es in der Analysis gelernt hast, diese Funktion nach [mm] $\lambda$ [/mm] ableiten, Null setzen und nach [mm] $\lambda$ [/mm] auflösen.
Dieses [mm] $\lambda$ [/mm] kannst du dann in der Geradengleichung einsetzen, um das $Q$ zu erhalten, welches von $P$ den geringsten Abstand hat. Ist also der Lotfusspunkt.
Und zur Vereinfachung: wenn der Abstand minimal sein soll, so ist auch das Quadrat des Abstandes minimal. Du darfst also das Wurzelzeichen bei der Funktion für den Abstand weglassen, um das Minimum zu berechnen. Wird dann wirklich einfacher! 
P.S. Wenn dir diese Angaben zu vage sind, musst du dich einfach wieder melden!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Nala1285 |
Hi Paul,
wie bist du auf die Koordinaten von Q gekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 19.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nala
schön dass du das wissen willst und dich nicht einfach mit den anderen Lösungsmöglichkeiten zufrieden gibst! 
Nun, die Gerade $g$ ist ja so gegeben:
[mm] $\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda*\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Weisst du, wie das interpretiert werden muss?
Das bedeutet, dass [mm] $\lambda$ [/mm] alle Werte aus den reellen Zahlen anehmen darf, und bei jedem Wert, der eingesetzt wird, weiss man, dass der errechnete Punkt auf $g$ liegt.
Ich mache mal ein Paar Beispiele:
[mm] $\lambda \to [/mm] Q$
$-5 [mm] \to [/mm] (-20,-4,8)$
$-4 [mm] \to [/mm] (-16,-3,7)$
$-3 [mm] \to [/mm] (-12,-2,6)$
$-2 [mm] \to [/mm] (-8,-1,5)$
$-1 [mm] \to [/mm] (-4,0,4)$
$0 [mm] \to [/mm] (0,1,3)$
$1 [mm] \to [/mm] (4,2,2)$
$2 [mm] \to [/mm] (8,3,1)$
$3 [mm] \to [/mm] (12,4,0)$
$4 [mm] \to [/mm] (16,5,-1)$
$5 [mm] \to [/mm] (20,6,-2)$
Siehst du, wie der Punkt $Q$ mit sich veränderndem [mm] $\lambda$ [/mm] auf der Geraden $g$ wandert?
Und dabei habe ich einfach das Folgende gemacht:
Gegeben ist ja:
[mm] $\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda*\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}$
[/mm]
Das heisst, dass für die x-Koordinate gilt: [mm] $x=0+\lambda*4=4\lambda$
[/mm]
Für die y-Koordinate gilt: [mm] $y=1+\lambda*1=1+\lambda$
[/mm]
Für die z-Koordinate gilt: [mm] $z=3+\lambda*(-1)=3-\lambda$
[/mm]
Ist jetzt alles klar?
Für den Abstand $d$ von $Q$ zu $P$ gilt entsprechend:
[mm] $\lambda \to [/mm] d$
$-5 [mm] \to [/mm] 13.08$
$-4 [mm] \to [/mm] 10.05$
$-3 [mm] \to [/mm] 8.19$
$-2 [mm] \to [/mm] 8.31$
$-1 [mm] \to [/mm] 10.34$
$0 [mm] \to [/mm] 13.45$
$1 [mm] \to [/mm] 17.06$
$2 [mm] \to [/mm] 20.90$
$3 [mm] \to [/mm] 24.87$
$4 [mm] \to [/mm] 28.93$
$5 [mm] \to [/mm] 33.03$
Hier erkennst du auch, dass sich der Abstand der Punkte bei meinen Werten zuerst verringert, und nachher wieder vergrössert. Die Aufgabe ist es jetzt, das [mm] $\lambda$ [/mm] zu finden, wo der Abstand eben an kleinsten ist.
Es würde mich freuen, wenn du bei Gelegenheit mal schreiben würdest, ob es dir gelungen ist! Und ob du das auch mit anderen Methoden gemacht hast.
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hallo.
> g: r = (0/1/3) + Lambda (4/1/-1)
> P (-9/1/13)
Ich denke man könnte das auch mit Hilfe des Skalarproduktes lösen.
[mm]\vec a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] Stützvektor
[mm]\vec p = \begin{pmatrix} -9 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}[/mm] Ortsvektor auf den Punkt P.
[mm]\vec r = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda\cdot{}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] Ortsvektor auf einen Punkt der Geraden g.
Der Vektor vom Lotfußpunkt nach P (im Folgenden bezeichnet [mm]\vec r[/mm] den Ortsvektor auf den Lotfußpunkt) muss senkrecht auf dem Vektor vom Stützpunkt zum Lotfußpunkt stehen.
[mm](\vec p - \vec r)\cdot{}(\vec r - \vec a) = 0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} -9-4\lambda \\ 1-1-\lambda \\ 13-3+\lambda \end{pmatrix}\cdot{}\begin{pmatrix} 4\lambda \\ \lambda \\ -\lambda \end{pmatrix} = 0[/mm]
Auf diese Weise müsste sich ein [mm]\lambda[/mm] ermitteln lassen. Das kann man dann in die Geradengleichung einsetzen und erhält den Lotfußpunkt.
Sollte mir ein Fehler unterlaufen sein, so korrigiert mich bitte.
MfG
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 18.09.2004 | | Autor: | ajl |
hi,
zunächst sind beide bisherigen antworten richtig. (in der ersten antwort ist nur ein zahlendreher).
es kann aber auch sein, dass dein mathelehrer den konventionellen lösungsweg über die lotebene haben möchte.
du konstruierst eine ebene, zu der die gegebene gerade senkrecht steht.
dies ist einfach, da der richtungsvektor der geraden die koeffizienten der ebene in koordinatenform ergibt (hattet ihr bestimmt im LK).
also E: 4x+y-z=k
und dieses k erhälst du, indem du den punkt p in die ebenengleichung einsetzt. also ergibt sich: E:=4x+y-z=-48.
den rest kannst du sicher, oder?
sonst nochmal fragen.
gruss,
alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander
so soll es sein! Alle tragen etwas zur Lösung bei, ohne einander zu behindern. Die Lösung mit dem Skalarprodukt wäre dann der Ansatz, den ich unter 1) gemeint habe, und du bringst noch eine dritte Möglichkeit.
Es wäre natürlich schön, wenn jetzt Nala gleich alle Lösungswege durchrechnen würde. Es sollte ja dann jeweils das gleiche Resultat herauskommen (beim Skalarprodukt ist aber ncoh eine Fallunterscheidung nötig!)
Uebrigens: wo ist eigentlich in meiner Antwort der Zahlendreher? Ich kann ihn nicht entdecken ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Sa 18.09.2004 | | Autor: | ajl |
hallo paul,
kein wunder, dass du ihn nicht entdecken kannst.
ich habe nämlich schlichtweg falsch gelesen, wie mir gerade auffällt.
es gibt also keinen zahlendreher.
sorry dafür!
gruss,
alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Sa 18.09.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo Paul.
> (beim Skalarprodukt ist
> aber noch eine Fallunterscheidung nötig!)
Meinst du damit, dass [mm]\lambda = 0[/mm] (kommt ja immer als Lösung vor, wegen dem resultierenden Nullvektor) nur als Lösung zählt, wenn es die einzige Lösung ist?
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Jan
ja, ganau das meinte ich!
Liebe Grüsse
Paul
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