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| Aufgabe | | Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichte von [mm] Y:=e^X. [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Ich komm mir echt blöd vor, aber ich weiß einfach nicht, wie ich auf die Dichte der Lognormalverteilung komme...wenn [mm] Y=e^X [/mm] und X normalverteilt ist, dann ist lnY ja normalverteilt...jetzt komm ich nicht weiter, kann mir jemand einen Tipp geben? Weil es reicht ja nicht, wenn ich lnY einfach die die Dichte der Normalverteilung einsetze, das sehe ich schon und ln hat ja auch andre Definitionsbereiche...mmh..da müsste ja dann eigentlich noch 1/y hin, aber ich kanns nicht begründen...
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> Sei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.
> Bestimmen Sie die Dichte von [mm]Y:=e^X.[/mm]
> Hallo ihr Lieben!
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> Ich komm mir echt blöd vor, aber ich weiß einfach nicht,
> wie ich auf die Dichte der Lognormalverteilung komme...wenn
> [mm]Y=e^X[/mm] und X normalverteilt ist, dann ist lnY ja
> normalverteilt...jetzt komm ich nicht weiter, kann mir
> jemand einen Tipp geben? Weil es reicht ja nicht, wenn ich
> lnY einfach die die Dichte der Normalverteilung einsetze,
> das sehe ich schon und ln hat ja auch andre
> Definitionsbereiche...mmh..da müsste ja dann eigentlich
> noch 1/y hin, aber ich kanns nicht begründen...
Hallo MissPocahontas,
wenn X standardnormalverteilt ist, dann heisst dies,
dass $\ [mm] P(X\le{a})\ [/mm] =\ [mm] \integral_{-\infty}^{a}f(x)\ [/mm] dx$
wobei f die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
ist.
Nun suchen wir eine analoge Dichtefunktion g für die
Verteilung Y. Es soll also gelten:
$\ [mm] P(Y\le{b})\ [/mm] =\ [mm] \integral_{-\infty}^{b}g(y)\ [/mm] dy$
Durch beidseitiges Ableiten nach b erhält man eine
Gleichung für g(b).
Ferner lässt sich die Bedingung [mm] Y\le{b} [/mm] durch eine
Bedingung für X ersetzen.
Der Rest ist eine Anwendung der Kettenregel.
LG Al-Chw.
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