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Logische Ausssagen vereinfach.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Sa 23.01.2021
Autor: hase-hh

Aufgabe
Vereinfachen Sie folgende Aussagen:

a) [mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B)

b) [mm] \neg(A \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C

c) (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \to [/mm] B)

d) (A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] A)

Anmerkung: Keine Ahnung wie ich einen festen Leerschritt einfügen kann...


Moin Moin!


zu a)

[mm] \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B)

[mm] (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B)

Ist das richtig?

Da  [mm] (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) = w   immer wahr ist...

[mm] \neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] B



zu b)

[mm] \neg(A \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C

[mm] (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C


[mm] (\neg [/mm] A [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \vee (\neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] C)


Ist das richtig?


zu c)

(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \to [/mm] B)

(A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)

(A [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) ) [mm] \vee [/mm] (B [mm] \vee (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B))

B [mm] \vee ((\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B))

B [mm] \vee \neg [/mm] A


Ist das so richtig?


d) (A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] A)

A [mm] \vee (\neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B)  

Stimmt das?  Und würde das nicht bedeuten, dass dieser Ausdruck immer "falsch" ist?



Vielen Dank für eure Hilfe!


        
Bezug
Logische Ausssagen vereinfach.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Sa 23.01.2021
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Vereinfachen Sie folgende Aussagen:
>  
> a) [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B)
>  
> b) [mm]\neg(A \wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C
>  
> c) (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
>
> d) (A [mm]\vee \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] A)
>
> Anmerkung: Keine Ahnung wie ich einen festen Leerschritt
> einfügen kann...
>  
> Moin Moin!
>
>
> zu a)
>
> [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B)
>  
> [mm](\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] A) [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\wedge[/mm] B)
>  
> Ist das richtig?

Edit: Leider habe ich das Zwischenergebnis nicht genau genug angesehen,
und ein Fehler übersehen.

Es muss
[mm](\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] A)[mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
sein.

>  
> Da  [mm](\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] A) = w   immer wahr ist...

[ok]

>  
> [mm]\neg[/mm] A [mm]\wedge[/mm] B

Aber wegen oben:  [mm]\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B

>  
>
>
> zu b)
>
> [mm]\neg(A \wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C
>  
> [mm](\neg[/mm] A [mm]\vee \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C
>  
>
> [mm](\neg[/mm] A [mm]\wedge[/mm] C) [mm]\vee (\neg[/mm] B [mm]\wedge[/mm] C)
>  
>
> Ist das richtig?

Umformungen sind richtig, aber welcher Ausdruck ist am einfachsten?

>  
>
> zu c)
>
> (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
>
> (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)

[ok]

>
> (A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm]\vee[/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))

[notok]

(A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))

>
> B [mm]\vee ((\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))
>
> B [mm]\vee \neg[/mm] A
>
>
> Ist das so richtig?
>  
>
> d) (A [mm]\vee \neg[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee[/mm] A)
>
> A [mm]\vee (\neg[/mm] B [mm]\wedge[/mm] B)  

[ok]

[mm](\neg[/mm] B [mm]\wedge[/mm] B)   immer falsch,

aber A [mm]\vee[/mm] "falsch" = A

>
> Stimmt das?  Und würde das nicht bedeuten, dass dieser
> Ausdruck immer "falsch" ist?
>
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Logische Ausssagen vereinfach.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Sa 23.01.2021
Autor: hase-hh

Vielen Dank meili!

zu c)

> >
> > zu c)
> >
> > (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
> >
> > (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
> [ok]




> > (A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm]\vee[/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))
> [notok]



(A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm] \wedge [/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))


(A [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)


( w  [mm] \vee [/mm] B)  [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)  


B [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm]\vee[/mm] B)

B [mm] \wedge \neg [/mm] A

Ist das so richtig?


Bezug
                        
Bezug
Logische Ausssagen vereinfach.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 So 24.01.2021
Autor: statler


> Vielen Dank meili!
>  
> zu c)
>  
> > >
> > > zu c)
> > >
> > > (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee[/mm] (A [mm]\to[/mm] B)
> > >
> > > (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
> > [ok]
>  
>
>
>
> > > (A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm]\vee[/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))
> > [notok]
>  
>
>
> (A [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) ) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B))
>
>
> (A [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] (B [mm]\vee \neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
>  
>
> ( w  [mm]\vee[/mm] B)  [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)  
>
>
> B [mm]\wedge (\neg[/mm] A [mm]\vee[/mm] B)
>
> B [mm]\wedge \neg[/mm] A
>
> Ist das so richtig?
>  

Noch mal alle Punkte:

a) [mm] $\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \Longleftrightarrow (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] A) [mm] \wedge (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \Longleftrightarrow \neg A\vee [/mm] B$

b) [mm] $\neg(A \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C$ kann man nicht wirklich 'vereinfachen'.

c) (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (A [mm] \rightarrow [/mm] B) [mm] \Longleftrightarrow [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee\ (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B)
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] ((A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee\ \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] ((A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] B)
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] ((A [mm] \vee\ \neg [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee\ \neg [/mm] A)) [mm] \vee [/mm] ((A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] B))
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] (B [mm] \vee\ \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] ((A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] B)
[mm] \Longleftrightarrow [/mm] (B [mm] \vee\ \neg [/mm] A) [mm] \vee [/mm] B [mm] \Longleftrightarrow [/mm] B [mm] \vee\ \neg [/mm] A

a) und c) sind logisch äquivalent.

d) $(A [mm] \vee \neg [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] A) [mm] \Longleftrightarrow [/mm] A [mm] \vee (\neg [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B ) [mm] \Longleftrightarrow [/mm] A$

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Logische Ausssagen vereinfach.: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 09:06 So 24.01.2021
Autor: statler

a) ist falsch, [mm] $\vee$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] durcheinandergebracht.

Bezug
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