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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Oesi |
| Aufgabe | Bestimme die Logarithmusfunktion $f(x) = a* [mm] \log_{b}(x)$ [/mm] durch die Punkte P und Q.
P(2|1,07)
Q(7|3) |
Durch Einsetzen der Punkte in die gegebene Funktion bekomme ich zwei Gleichungen. Allerdings komme ich dann nicht weiter. Es gelingt mir nicht, aus den beiden Gleichungen $a$ und $b$ zu bestimmen.
Wenn ich $a$ aus der ersten Gleichung in die Zweite einsetze, dann verschwindet mein $b$, es bleibt nur eine Zahl. Wenn ich versuche die Gleichung durch potenzieren umzuformen, bekomme ich in beiden Gleichungen [mm] $b^a$, [/mm] durch Gleichsetzen finde ich schlieslich: [mm] $b^{1,07}-b^{3}=-5$, [/mm] womit mir nicht geholfen ist.
Wie kann/muss ich die Gleichungen umformen, damit ich ein korrektes Ergebnis bekomme?
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Hallo!
Durch Anwendung der Logarithmengesetze kannst du das umformen zu
[mm]f(x)=a*\frac{\ln x}{\ln b}=\underbrace{\frac{a}{\ln b}}_{=C}*\ln x=C*\ln{x}[/mm]
Und das heißt: Du kannst gar nicht beide Werte a und b bestimmen, sondern nur das Verhältnis [mm] \frac{a}{\ln b}. [/mm] (Das heißt, du kannst dir ein a aussuchen und das passende b dazu berechnen)
Und das heißt noch was: Du hast eigentlich nur eine Gleichung mit einer Unbekannten C. Die Unbekannte kannst du mit einem einzigen der beiden gegebenen Punkte berechnen. Tust du das für beide Punkte, und bekommst du unterschiedliche Ergebnisse für C, so kann es keine Funktion der gegebenen Form geben, die durch beide Punkte geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Oesi |
Danke!
Ich bin deinem Ansatz gefolgt und bekomme in der Tat zwei gleiche Punkte. In der Lösung zur Aufgabe ist ein einzelnes Wertepaar gegeben $a$=3 und $b$=7, wie kommt man auf dieses Wertepaar? Man könnte für [mm] $\frac{a}{\ln b}$ [/mm] ja auch z.B. 4 für $a$ einsetzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oesi!
Die genannte Lösung entsteht aus dem zweiten Wertepaar des Punktes Q, zumal beide Koordinatenwerte "glatte Zahlen" sind.
Damit gilt:
$f(7) \ = \ [mm] 3*\log_7(7) [/mm] \ = \ 3*1 \ = \ 3$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Oesi |
> Die genannte Lösung entsteht aus dem zweiten Wertepaar
> des Punktes Q, zumal beide Koordinatenwerte "glatte Zahlen"
> sind.
>
> Damit gilt:
>
> [mm]f(3) \ = \ 7*\log_3(3) \ = \ 7*1 \ = \ 7[/mm]
Sorry, aber nun hast du mich verwirrt (wenn das noch mehr geht ;) ).
Das $f(x)=3$ und $x=7$, so weit so klar (Koordinaten des 2. Punkts), aber wie komme ich auf 3 und 7 für $a$ und $b$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mo 27.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Loddar hat schon eine Korrektur gemacht die Du wahrscheinlich noch nicht gelesen hast.. Er meinte [mm] 3=f(7)=3*log_7(7)
[/mm]
Jetzt alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Oesi |
Ja, danke noch einmal für die Hilfe!
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