Logarithmus Grenzwert,Bruch < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 So 28.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ich möchte den Grenzwert bestimmen von [mm] \frac{log(n+1)}{log(n)} [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] (Ohne Regeln von L’Hospital) |
Hallo,
Ich hab versucht umzuformen:
[mm] \frac{log(n+1)}{log(n)}= \frac{log(n*(1+1/n))}{log(n)}= \frac{log(n)+log(1+1/n)}{log(n)}=1+\frac{log(1+1/n)}{log(n)}
[/mm]
Nun wollte ich Grenzwertsätze verwenden aber das darf ich hier doch gar nicht, da es sich im Nenner um einen uneigentlichen Grenzwert handeln und im Zähler um 0. Habt ihr eine Idee das anders zu lösen ohne die Regel von L’Hospital?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 So 28.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Ich möchte den Grenzwert bestimmen von
> [mm]\frac{log(n+1)}{log(n)}[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] (Ohne Regeln von
> L’Hospital)
> Hallo,
>
> Ich hab versucht umzuformen:
> [mm]\frac{log(n+1)}{log(n)}= \frac{log(n*(1+1/n))}{log(n)}= \frac{log(n)+log(1+1/n)}{log(n)}=1+\frac{log(1+1/n)}{log(n)}[/mm]
>
> Nun wollte ich Grenzwertsätze verwenden aber das darf ich
> hier doch gar nicht, da es sich im Nenner um einen
> uneigentlichen Grenzwert handeln und im Zähler um 0. Habt
Etwas Besseres kann dir doch gar nicht passieren. Da geht der Bruch gleich aus zwei Gründen gegen Null.
> ihr eine Idee das anders zu lösen ohne die Regel von
> L’Hospital?
>
> LG,
> sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 29.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sissile!
> Ich möchte den Grenzwert bestimmen von [mm]\frac{log(n+1)}{log(n)}[/mm] für [mm]n->\infty[/mm] (Ohne Regeln von L’Hospital)
Okay.
> Ich hab versucht umzuformen:
> [mm]\frac{log(n+1)}{log(n)}= \frac{log(n*(1+1/n))}{log(n)}= \frac{log(n)+log(1+1/n)}{log(n)}=1+\frac{log(1+1/n)}{log(n)}[/mm]
Richtig.
> Nun wollte ich Grenzwertsätze verwenden aber das darf ich
> hier doch gar nicht, da es sich im Nenner um einen
> uneigentlichen Grenzwert handeln und im Zähler um 0. Habt
> ihr eine Idee das anders zu lösen ohne die Regel von
> L’Hospital?
Du hast Recht, dass wir bei der Betrachtung des Quotienten wegen
[mm] $\log(n)\to\infty,\quad n\to\infty$
[/mm]
nicht direkt die Grenzwertsätze benutzen dürfen, aber bei der
Betrachtung von
[mm] \frac{\log(1+1/n)}{\log(n)}=\log(1+1/n)*\frac{1}{\log(n)}
[/mm]
erhalten wir
[mm] \log(1+1/n)\to 0,\quad n\to\infty
[/mm]
(Übrigens fehlt hier die Begründung: Stetigkeit!)
und
[mm] \frac{1}{\log(n)}\to 0,\quad n\to\infty
[/mm]
und somit können wir die Grenzwertsätze bezüglich des Produktes
benutzen und kommen auf
[mm] \frac{\log(1+1/n)}{\log(n)}=\log(1+1/n)*\frac{1}{\log(n)}\to 0,\quad n\to\infty.
[/mm]
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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