Logarithmus Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 01.03.2007 | | Autor: | MarekG |
a sei eine zu nächst nicht näher festgelegte reele Zahl.
Lösen Sie
[mm]2^x+2^{a} = 2^{x+a}[/mm]
Welche Einschränkung muß man für a machen, um sicher zustellen, dass die Gleichung lösbar ist?
Also ich raff hier gar nix geschweige denn das lösen????
Kann mir einer helfen???
Danke
Gruß Marek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Do 01.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a sei eine zu nächst nicht näher festgelegte reele Zahl.
> Lösen Sie
>
> [mm]2^x+2^{a} = 2^{x+a}[/mm]
>
> Welche Einschränkung muß man für a machen, um sicher
> zustellen, dass die Gleichung lösbar ist?
>
> Also ich raff hier gar nix geschweige denn das lösen????
> Kann mir einer helfen???
Zum Glueck musst du sie nicht loesen, sondern nur feststellen, wann oder ob sie ne Loesung haben.
setz mal a=0 und ueberleg, warum es keine Loesung gibt.
dann untersuch, obs sonst immer loesungen gibt!
Loesungen gibts, wenn man stellen x findet wo die linke Seite kleiner als die Rechte und welche wo sie groesser ist als die rechte. dann gibts ne Stelle dazwischen, wo sie gleich sind.
Gruss leduart
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Hallo Marek,
die Gleichung [mm] 2^x+2^{a}=2^{x+a} [/mm] ist etwas langwierig zu lösen:
Falls du daran interessiert bist, ich habs mal probiert - war interessant 
[mm] 2^x+2^{a}=2^{x+a} \Rightarrow 2^x+2^{a}=2^x\cdot{}2^{a} \Rightarrow \bruch{2^x+2^{a}}{2^x}=2^{a} [/mm] , denn [mm] 2^x\ne [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x
[mm] \Rightarrow 1+\bruch{2^{a}}{2^x}=2^{a} \Rightarrow 2^{a-x}=2^{a}-1
[/mm]
Nun verwende die Definition der allg. Potenz [mm] b^c=e^{c\cdot{}ln(b)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{(a-x)\cdot{}ln(2)}=2^{a}-1 [/mm] Nun den ln drauf loslassen:
[mm] \Rightarrow ln\left(e^{(a-x)\cdot{}ln(2)}\right)=ln\left(2^{a}-1\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a-x)\cdot{}ln(2)=ln\left(2^{a}-1\right) \Rightarrow a\cdot{}ln(2)-x\cdot{}ln(2)=ln\left(2^{a}-1\right) \Rightarrow a\cdot{}ln(2)-ln\left(2^{a}-1\right)=x\cdot{}ln(2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a\cdot{}ln(2)-ln\left(2^{a}-1\right)}{ln(2)}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow a-\bruch{ln\left(2^{a}-1\right)}{ln(2)}=x
[/mm]
Wenn diese Rechnung so stimmt, kannst du hier auch die Einsachränkung für a ablesen:
Der ln ist nur für positive Argumente definiert, also muss [mm] 2^{a}-1>0 [/mm] sein, also [mm] 2^{a}>1 \Rightarrow e^{a\cdot{}ln(2)}>1 \Rightarrow a\cdot{}ln(2)>ln(1)=0 \underbrace{\Rightarrow}_{ln(2)>0} [/mm] a>0 [Umformungen wie oben mit ln und e]
Alles ohne Gewähr
Gruß
schachuzius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Fr 02.03.2007 | | Autor: | MarekG |
Naja ich hätte es nciht lösen können aber da ich ja ein Lösungsheft habe sieht es folgendermassen aus.
[mm]2^x + 2^{a}= 2^{x+a}[/mm]
[mm]2^x + 2^{a} = 2^{a}2^x[/mm]
nach [mm] 2^x [/mm] auflösen
[mm]2^x = \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]
[mm]x0 \log[2]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]
die einzige Einschränkung ist das
[mm] \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]
positiv sein muß da sonst der Log nicht existiert.
[mm] \bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm] > 0 [mm] \gdw 2^{a}-1>0 [/mm]
immer positiv ist.
Aus [mm] 2^{a}- [/mm] > 0 folgt aber a > 0
das steht in der Lösung..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marek!
> die einzige Einschränkung ist das [mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm]
> positiv sein muß da sonst der Log nicht existiert.
>
> [mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1}[/mm] > 0 [mm]\gdw 2^{a}-1>0[/mm] immer positiv ist.
Das timmt so aber nicht. Um diese Ungleichung zu lösen, musst Du hier folgende Fallunterscheidung machen:
Fall (1) [mm] $2^a-1 [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ $2^a [/mm] \ > \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $a \ > \ 0$
[mm]\bruch{2^{a}}{2^{a}-1} \ > \ 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]2^{a} \ > \ 0*\left(2^a-1\right)[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]2^{a} \ > \ 0[/mm]
Diese Ungleichung ist für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] erfüllt, und damit auch für alle $a_$ dieses Falles $a \ > \ 0$ .
Fall (2) [mm] $2^a-1 [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ $2^a [/mm] \ > \ -1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Lösung für [mm] $a\in\IR$ [/mm] : dieser Fall kann also gar nicht eintreten.
Damit lautet die Einschränkung also: $a \ > \ 0$
Gruß
Loddar
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