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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Logarithmus
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Logarithmus: versch. Logarithmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mi 28.06.2006
Autor: JoHnNyBlunt

Aufgabe
Bestimmung von Lösungsmengen:
log 4(y+4) + log4 y = log4 5
2 lg x - lg 2 = lg8
[mm] \wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}} [/mm]

Bestimme die Lösungsmenge:

log 4(y+4) + log4 y = log4 5 | - log4 y


= log4(y+4) + log4y = log4 5 - log4 y | log4

= 4(y+4) +y = 4y - 4y

so, weiter fällt mir nix ein um die gleichung aufzulösen =).

2 lg x - lg 2 = lg8 |lg
2x - 2 = 8             |+ 2
2x = 8 + 2            | :2
x = 2(8+2)

hoffe mal die is richtig.


dann soll hier noch folgende gleichung gelöst werden.

[mm] \wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}} [/mm]


da einen ansatz zu finden fehlt es mir an übung, aber die eingabe der gleichung allein hat mich schon was gekostet.^^


Zum Schluss noch folgende Textaufgabe:

Auf einem bestimmten Areal lebten 1965 etwa 2500 Robben. Sie vermehrten sich jährlich um 7,5%. Außerdem wurden jährlich 350 Exemplare wegen ihres Felles getötet.

Wie lange hätte es gedauert bis sie ausgerottet wären, gäbe es heute kein Gesetz gegen die Robbenschlachtung?

(2500 x [mm] 1,075^x) [/mm] - (350 x x) = 0

mehr fällt mir dazu auch nicht ein, bitte daher um hilfe.


Vielen Dank,
Johnny Blunt

        
Bezug
Logarithmus: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 19:28 Mi 28.06.2006
Autor: M.Rex


> Bestimmung von Lösungsmengen:
>  log 4(y+4) + log4 y = log4 5
>  2 lg x - lg 2 = lg8
> [mm]\wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}}[/mm]
>  
> Bestimme die Lösungsmenge:
>  
> log 4(y+4) + log4 y = log4 5 | - log4 y
>  
>
> = log4(y+4) + log4y = log4 5 - log4 y | log4
>  
> = 4(y+4) +y = 4y - 4y
>  
> so, weiter fällt mir nix ein um die gleichung aufzulösen
> =).

Hmm, das ist eigentlich eine Gleichung ohne Besonderheiten.

4(y+4) +y = 4y - 4y
[mm] \gdw [/mm] 4y + 16 +y = 0
[mm] \gdw [/mm] 5y = -16
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] -\bruch{16}{5} [/mm]

>  
> 2 lg x - lg 2 = lg8 |lg
>  2x - 2 = 8             |+ 2
>  2x = 8 + 2            | :2
>  x = 2(8+2)
>  
> hoffe mal die is richtig.
>  

nee, du teilst durch 2.
Also:
2x =  [mm] \underbrace{8+2}_{=das sind 10, du solltest es auch ausrechnen} [/mm]            | :2
[mm] \gdw [/mm]  x = [mm] \bruch{10}{2} [/mm]  
[mm] \gdw [/mm] x=5

>
> dann soll hier noch folgende gleichung gelöst werden.

>

> [mm]\wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}}[/mm]

[mm]\wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}}[/mm]      |³
[mm] \gdw \wurzel[x]{(\bruch{7}{11})³} [/mm] = bruch{6}{7}       [mm] |^{x} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{7³}{11³} [/mm] = [mm] (\bruch{6}{7})^{x} [/mm]
...

>  
>
> da einen ansatz zu finden fehlt es mir an übung, aber die
> eingabe der gleichung allein hat mich schon was
> gekostet.^^
>  
>
> Zum Schluss noch folgende Textaufgabe:
>  
> Auf einem bestimmten Areal lebten 1965 etwa 2500 Robben.
> Sie vermehrten sich jährlich um 7,5%. Außerdem wurden
> jährlich 350 Exemplare wegen ihres Felles getötet.
>  
> Wie lange hätte es gedauert bis sie ausgerottet wären, gäbe
> es heute kein Gesetz gegen die Robbenschlachtung?
>  
> (2500 x [mm]1,075^x)[/mm] - (350 x x) = 0
>  
> mehr fällt mir dazu auch nicht ein, bitte daher um hilfe.
>  
>

(2500 x [mm]1,075^x)[/mm] - (350 x x) = 0
[mm] \gdw [/mm] 2500 * [mm] 1,075^{x} [/mm] = 350x
[mm] \gdw 1,075^{x} [/mm] = [mm] \bruch{7}{50} [/mm] x
...

> Vielen Dank,
>  Johnny Blunt

Bezug
                
Bezug
Logarithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:54 Mi 28.06.2006
Autor: Teufel


> Auf einem bestimmten Areal lebten 1965 etwa 2500 Robben.
> Sie vermehrten sich jährlich um 7,5%. Außerdem wurden
> jährlich 350 Exemplare wegen ihres Felles getötet.
>  
> Wie lange hätte es gedauert bis sie ausgerottet wären, gäbe
> es heute kein Gesetz gegen die Robbenschlachtung?

Nunja, die Formel ist leider schon falsch, da es keine Lösung dafür gibt.

Bezug
                
Bezug
Logarithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mi 28.06.2006
Autor: zim_georg

Hallo Leute,

mir ist beim Durchlesen des Threads ein Fehler aufgefallen:

> > Bestimme die Lösungsmenge:
>  >  
> > log 4(y+4) + log4 y = log4 5 | - log4 y
>  >  
> >
> > log4(y+4) + log4y = log4 5 - log4 y | log4

Eigentlich müsste hier ja auch auf der linken Seite log4 y abgezogen werden, oder kenn' ich mich überhaupt nicht mehr aus? Der vorgeschlagene Lösungsweg ändert sich jedoch nicht, lediglich das Ergebnis sieht logischerweise anders aus.

Georg

Bezug
        
Bezug
Logarithmus: Logarithmusgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Mi 28.06.2006
Autor: Loddar

Hallo JohnnyBlunt!


Du musst hier die MBLogarithmusgesetze anwenden ...

[mm] $\log_4(y+4) [/mm] + [mm] \log_4( [/mm] y) \ = \ [mm] \log_4( [/mm] 5)$

Hier folgendes MBLogarithmusgesetz anwenden:   [mm] $\log_b(x)+\log_b(y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x*y)$ [/mm]


Damit wird dann daraus:

[mm] $\log_4[(y+4)*y] [/mm] \ = \ [mm] \log_4( [/mm] 5)$

Da nun auf beiden Seiten jeweils (und ausschließlich) ein Ausdruck [mm] $\log_4(...)$ [/mm] steht, können wir diesen auf beiden Seiten weglassen:

$(y+4)*y \ = \ 5$

[mm] $y^2+4*y [/mm] - 5 \ = \ 0$

Nun weiter mit der MBp/q-Formel ...




[mm] $2*\lg( [/mm] x) - [mm] \lg( [/mm] 2) \ = \ [mm] \lg(8)$ [/mm]

Hier zunächst folgendes MBLogarithmusgesetz:   [mm] $m*\log_b(a) [/mm] \ = \ [mm] \log_b\left(a^m\right)$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow$ $\lg\left(x^2\right)-\lg(2) [/mm] \ = \ [mm] \lg(8)$ [/mm]

Nun weiter wie bei der ersten Aufgabe ...




[mm]\wurzel[x] {\bruch{7}{11}}=\wurzel[3]{\bruch{6}{7}}[/mm]

[mm] $\left(\bruch{7}{11}\right)^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{6}{7}\right)^{\bruch{1}{3}} [/mm] $

Nun auf beiden Seiten einen Logarithmus anwenden ...


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Mi 28.06.2006
Autor: Siegfried


> Zum Schluss noch folgende Textaufgabe:
>  
> Auf einem bestimmten Areal lebten 1965 etwa 2500 Robben.
> Sie vermehrten sich jährlich um 7,5%. Außerdem wurden
> jährlich 350 Exemplare wegen ihres Felles getötet.
>  
> Wie lange hätte es gedauert bis sie ausgerottet wären, gäbe
> es heute kein Gesetz gegen die Robbenschlachtung?

Dein Ansatz funktioniert nicht ganz. Versuche folgende Überlegung:

Anzahl der Robben nach $n$ Jahren sei [mm] $a_{n}$. [/mm]

Dann ist [mm] $a_{0}=2500$ [/mm] (klar!).

Ein Jahr später sind es:

[mm] $a_{1}=a_{0}\cdot1,075-350$. [/mm]

Im nächsten Jahr sind's:

[mm] $a_{2}=a_{1}\cdot1,075-350=(a_{0}\cdot1,075-350)\cdot1,075-350=a_{0}\cdot1,075^{2}-350\cdot(1+1,075)$ [/mm]

Ein Jahr drauf sind' nur noch:

[mm] $a_{3}=a_{0}\cdot1,075^{3}-350\cdot(1+1,075+1,075^{2})$ [/mm]

Man kann also allgemein für einen Zeitraum nach $n$ Jahren sagen, das noch

[mm] $a_{n}=a_{0}\cdot1,075^{n}-350\cdot(1+1,075+...+1,075^{n-1})$ [/mm]

Robben am Leben sind. (Und das ist doch schon 'ne ganze Menge).

Probleme bereitet jetzt vielleicht noch der Ausdruck:

[mm] $1+1,075+...+1,075^{n-1}$, [/mm]

da ist es sinnvoll, im Tafelwerk nach den geometrischen Zahlenfolgen zu suchen ;-) .

Viel Spaß beim Rechnen, Siegfried.

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