Logarithmus < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey ihr 
es geht um die Folge [mm] a_{n}=n^{1/n} [/mm] ich soll für alle n>1 zeigen, dass gilt:
[mm] \frac{log n}{n} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] -1 < (e-1)* [mm] \frac{log n}{n}
[/mm]
mein Ansatz:
Also es ist ja klar, dass gilt:
[mm] \frac{log n}{n} [/mm] < (e-1)* [mm] \frac{log n}{n} [/mm] da (e-1) eine positive Zahl ist.
aber wie kann ich den mittleren Term der Ungleichung damit verknüpfen um zu beweisen das 1. [mm] \frac{log n}{n} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] -1 und 2. [mm] a_{n} [/mm] -1 < (e-1)* [mm] \frac{log n}{n} [/mm] gilt?
Ich würde mich tierisch über eure Hilfe freuen . LG
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Anna,
> Hey ihr
> es geht um die Folge [mm]a_{n}=n^{1/n}[/mm] ich soll für alle n>1
> zeigen, dass gilt:
> [mm]\frac{log n}{n}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm] -1 < (e-1)* [mm]\frac{log n}{n}[/mm]
> mein
> Ansatz:
> Also es ist ja klar, dass gilt:
> [mm]\frac{log n}{n}[/mm] < (e-1)* [mm]\frac{log n}{n}[/mm] da (e-1) eine
> positive Zahl ist.
Nein, klar ist das nur, weil $(e-1)>1$ ist.
> aber wie kann ich den mittleren Term der Ungleichung damit
> verknüpfen um zu beweisen das 1. [mm]\frac{log n}{n}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm]
> -1 und 2. [mm]a_{n}[/mm] -1 < (e-1)* [mm]\frac{log n}{n}[/mm] gilt?
Da steht ja eigentlich folgendes:
[mm] \log{{(a_n)}}
Ich würde jetzt erstmal überall [mm] 1=\log{(e)} [/mm] addieren und dann die beiden Teile der Ungleichungskette separat behandeln.
Ich lasse die Frage halboffen, falls jemand einen einfacheren Tipp hat.
Grüße
reverend
>
> Ich würde mich tierisch über eure Hilfe freuen . LG
> AnnaHundi
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
aus der Reihendarstellung der e-Funktion folgt [mm] e^z>1+z [/mm] (1) und erst recht [mm] e^z>z [/mm] (2).
Mit z=x-1 ergibt sich aus (1), dass [mm] e^{x-1}>x [/mm] sein muss und durch logarithmieren folgt $ ln(x)<x-1 $. Das ist die linke Ungleichung.
Aus (2) ergibt sich durch Wurzelziehen [mm] \wurzel[n]{n}
Lass uns nun die Funktionen $ f(x)=x-1 $ und $ g(x)=(e-1)*ln(x) $ betrachten. Wenn wir zeigen können, dass im Intervall (1,e) stets f(x) < g(x) gilt, ist damit die rechte Ungleichung bewiesen.
Nun ist f(1)=g(1) und f(e)=g(e) sowie f'(1)<g'(1) und f'(e)>g'(e). Außerdem gilt f'(x)=g'(x) nur an der einen Stelle x=e-1. f und g können also keine weiteren Schnittpunkte im Intervall (1,e) haben, womit die Behauptung gezeigt ist.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
vielen dank für die ausführliche Hilfe. Leider habe ich noch ein paar Fragen und hoffe du kannst mir helfen
> aus der Reihendarstellung der e-Funktion folgt [mm]e^z>1+z[/mm] (1)
das gilt doch wegen z>1 (was ja in der Aufgabenstellung angegeben war) oder?
> und erst recht [mm]e^z>z[/mm] (2).
>
> Mit z=x-1
wie kommst du darauf z so zu definieren?
ergibt sich aus (1), dass [mm]e^{x-1}>x[/mm] sein muss und
> durch logarithmieren folgt [mm]ln(x)
> Ungleichung.
ich kann nachvollziehen was du getan hast. Reicht das jedoch als Beweis aus?
> Aus (2) ergibt sich durch Wurzelziehen [mm]\wurzel[n]{n}
> Lass uns nun die Funktionen [mm]f(x)=x-1[/mm] und [mm]g(x)=(e-1)*ln(x)[/mm]
> betrachten. Wenn wir zeigen können, dass im Intervall
> (1,e)
wie kommst du darauf dieses Intervall zu wählen?
stets f(x) < g(x) gilt, ist damit die rechte
> Ungleichung bewiesen.
> Nun ist f(1)=g(1) und f(e)=g(e)
bis hierhin kann ich folgen, allerdings dürfen wir keine Ableitungen verwenden. gibt es noch einen anderen Weg um zu zeigen, dass f(x) < g(x) gilt?
LG
AnnaHundi
EDIT: wieso darf man eigentlich statt log(n)/n ln(n) schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. statt Ableitung hilft immer die Reihe, weil die ja die Ableitungen enthält.
2. da [mm] n^{1/n} [/mm] immer >1 und <2 also auch <e ist kann man dieses Intervall nehmen, man könnte auch das von 1 bis 2 nehmen
zu deinem PS :
es gilt nicht ln(n)=1/n*ln(n)
benutzt wurde [mm] 1/n*ln(n)=ln(n^{^/n}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey
zu 1)
aber ich muss doch ln(n)/n > x-1 beweisen
jetzt habe ich doch nur ln(n)> x-1 bewiesen oder?
zu 2) ah ich denke ich verstehe was du meinst. Also ich soll ja beweisen, dass die Funktion f(x)=x-1 auf dem Intervall[1,e] stets kleiner ist als g(x)= (e-1)* ln(x)
dann stelle ich die Ungleichung auf [mm] \sum_{1}^{e}x-1 \ge \sum_{1}^{e}(e-1)*ln(x)
[/mm]
wegen ln(x) stets [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] (e-1)\ge [/mm] (x-1) auf dem vorgegebenen Intervall müsste die Ungleichung ja erfüllt sein. Allerdings auch nur mit einem [mm] \ge [/mm] Zeichen anstatt einem > Zeichen (die die beiden Funktionen doch für e den gleichen Wert annehmen). die Aufgabenstellung verlangt allerdings ein ">" Zeichen. Wie kann ich das also noch beweisen?
und auch hier verwende ich ln(x) statt ln(x)/x. wie kann ich das verstehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ln(x)<x-1 zeigen und das auf [mm] x=n^{1/n} [/mm] anwenden.
bitte lies die posts genauer!
zu 2
wie kommst du auf die Summen? du willst x-1<(e-1)*ln(x) ( x wie oben) zeigen.
dazu kannst du die Def. von lnx aus seiner Reihe oder die umkehrfkt [mm] e^x [/mm] und deren Reihe benutzen.
wieso ist lnx> 1 das ist falsch , dein x liegt zwischen 1 und 2 bzw 1 und e!
ln(1)=0, ln(e)=1
jetz lies mal die posts genauer, nitfalls druck sie aus!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
> du willst ln(x)<x-1 zeigen und das auf [mm]x=n^{1/n}[/mm]
> anwenden.
also verstehe ich das richtig:
ich will ln(x)/x < [mm] x^{1/x} [/mm] -1 zeigen (besagt ja die Aufgabenstellung)
dann forme ich um zu:
[mm] \gdw [/mm] ln(x) < x -1
??? obwohl ich ja dann auch die x-te Wurzel aus der negativen eins ziehn müsste was ja wieder unlogisch wäre
> wie kommst du auf die Summen? du willst x-1<(e-1)*ln(x) (
> x wie oben) zeigen.
> dazu kannst du die Def. von lnx aus seiner Reihe oder die
> umkehrfkt [mm]e^x[/mm] und deren Reihe benutzen.
> wieso ist lnx> 1 das ist falsch , dein x liegt zwischen 1
> und 2 bzw 1 und e!
> ln(1)=0, ln(e)=1
ja das verstehe ich. nur leider haben wir den logarithmus generell noch nicht behandelt und ich musste mir gerade auch erst mal die Reihendefinition aus dem Internet suchen. Leider hilft mir das auch nicht weiter um zu beweisen, dass f(x) kleiner g(x) auf dem vorgegeben Intervall. denn die beiden Randpunkte haben ja bei beiden Funktionen den selben Funktionswert
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo
du willst zeigen
ln(n)/n< n^{1/n}-1
jetzt nenne n^{1/n}=x oder bleibe bei n^{1/n wenn du das immer wieder durcheinander kriegst. und dieses x ist immer >1
du formst nicht um, sondern du nennst um!
wenn ihr den ln nicht "behandelt" habt ist die Aufgabe außerhalb deines Könnens, also ist das kaum zu glauben.
habt ihr denn e^x behandelt? und ln als Unkehrfkt, dann musst du das eben alles mit e hoch machen.
Normalerweise war log Stoff von Klasse 10 oder 11 jje nach Bundesland?
Aber nenn erst mal deine Vorkenntnisse!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
ja okay ich habe nun verstanden was du mit dem umbenennen meinst.
Dann muss ich nun also nur noch zeigen, das f(x) < g(x) auf dem [mm] Intervall[1,\epsilon]
[/mm]
zu meinen Vorkenntnissen:
also in der Uni wird erwartet das wir uns dies selber erarbeiten. Wir haben die e-Funktion durchgenommen. Logarithmus allerdings nicht. Die Reihendarstellung kenne ich auch nur aus dem Internet. In der Schule haben wir dieses Thema auch behandelt. Allerdings haben wir dort nicht mehr gelernt als die Umschreibung und die Auflösung des Logarithmus. also [mm] a^{x}=b \gdw [/mm] ln(b)/ln(a)=x
leider hilft mir das bei dem obigen Beweis nicht weiter :-(
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ihr die efkt durchgenommen habt (also auch die definierende Reihe kennt) und wisst dass ln die Umkehrfkt ist also [mm] \ln(e^x)=x [/mm] und [mm] e^{\ln x}=x [/mm] kannst du doch deine Ungleichung, indem du e^darauf anwendest in eine mit der e-fkt verwandeln .
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hey
ich habe ja die Ungleichung
x-1 < (e-1)*ln(x)
[mm] \gdw e^{ln(x-1)} [/mm] < [mm] e^{ln(e-1)}* e^{ln(ln(x))} [/mm]
[mm] \gdw e^{ln(x-1)} [/mm] < [mm] e^{ln(e-1)+ln(x)}
[/mm]
und diese Ungleichung ist ja erfüllt, da [mm] ln(x)\ge [/mm] 0 ab dem Intervallbeginn =1 und ln(e-1) > ln(x-1) auf dem Intervall [1,e]
somit ist der Exponent der rechten Seite immer größer. und umso größer der Exponent, umso größer der Funktionswert der e-Funktion. Stimmt das so?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ich habe ja die Ungleichung
> x-1 < (e-1)*ln(x)
> [mm]\gdw e^{ln(x-1)}[/mm] < [mm]e^{ln(e-1)}* e^{ln(ln(x))}[/mm]
> [mm]\gdw e^{ln(x-1)}[/mm] < [mm]e^{ln(e-1)+ln(x)}[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ????
FRED
> und diese Ungleichung ist ja erfüllt, da [mm]ln(x)\ge[/mm] 0 ab
> dem Intervallbeginn =1 und ln(e-1) > ln(x-1) auf dem
> Intervall [1,e]
> somit ist der Exponent der rechten Seite immer größer.
> und umso größer der Exponent, umso größer der
> Funktionswert der e-Funktion. Stimmt das so?
>
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hey
> ich habe ja die Ungleichung
> x-1 < (e-1)*ln(x)
daraus - da du sagst ln kannst du nicht mache
[mm] e^{x-1}
> [mm]\gdw e^{ln(x-1)}[/mm] < [mm]e^{ln(e-1)}* e^{ln(ln(x))}[/mm]
der nächste Schritt ist falsch.
> [mm]\gdw e^{ln(x-1)}[/mm] < [mm]e^{ln(e-1)+ln(x)}[/mm]
> und diese Ungleichung ist ja erfüllt, da [mm]ln(x)\ge[/mm] 0 ab
> dem Intervallbeginn =1 und ln(e-1) > ln(x-1) auf dem
> Intervall [1,e]
> somit ist der Exponent der rechten Seite immer größer.
> und umso größer der Exponent, umso größer der
> Funktionswert der e-Funktion. Stimmt das so?
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
hey
> [mm]e^{x-1}
> > [mm]\gdw e^{ln(x-1)}[/mm]
> < [mm]e^{ln(e-1)}* e^{ln(ln(x))}[/mm]
[mm] \gdw e^{ln(x-1)}< e^{ln(e-1)+ln(ln(x))}
[/mm]
reicht dann hier meine Begründung(siehe letzte Rückfrage um die Ungleichung zu begründen?)
aber wie kann ich dann an dieser Stelle weiter umformen? wenn ich die Exponenten nicht zusammenfassen darf?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 27.01.2014 | | Autor: | moody |
> aber wie kann ich dann an dieser Stelle weiter umformen?
> wenn ich die Exponenten nicht zusammenfassen darf?
> LG
Wenn ich das richtig sehe, hast du die exponenten falsch zusammengefasst.
$ [mm] e^{ln(e-1)}\cdot{} e^{ln(ln(x))} [/mm] $
ist nicht
$ [mm] e^{ln(e-1)+ln(x)} [/mm] $
sondern
$ [mm] e^{ln(e-1)+ln(ln(x))} [/mm] $
Und wieso lässt du
[mm] $e^{ln(...)}$ [/mm] stehen?
[mm] $e^{ln(a)} [/mm] = a$
lg moody
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe nicht alles durchgelesen, aber es gilt:
[mm] x-1<(e-1)*\ln(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{\ln(x-1)}
[mm] \Rightarrow e^{\ln(x-1)}
Lies dir nochmal die alle Exponential- und Logarithmusgesetze durch!
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hey
bis zu diesem Schritt bin ich auch gekommen. Aber wie kann man dies dann weiter umformen? Denn eine Begründung reicht ja an dieser Stelle nicht aus, da ln(ln(1)) im Intervall [1,e] auch negative Werte annehmen kann...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hey
> bis zu diesem Schritt bin ich auch gekommen. Aber wie kann
> man dies dann weiter umformen? Denn eine Begründung reicht
> ja an dieser Stelle nicht aus, da ln(ln(1)) im Intervall
> [1,e] auch negative Werte annehmen kann...
Nein, denn für $x=1$ ist die Funktion nicht definiert, denn wir erhalten:
[mm] \ln(\ln(1))=\ln(0)
[/mm]
Ich habe das Gefühl, dass du den Überblick verlierst.
Du musst nur noch zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] x-1<(e-1)\ln(x) [/mm] für [mm] x\in(1,e)
[/mm]
Vielleicht ist es dir nicht aufgefallen,
aber diese Ungleichung gilt nur in diesem Intervall!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
man hat dir ja geraten, den Logarithmus aus dieser Gleichung zu eliminieren, indem man die Umkehrfunktion e-hoch benutzt, aber in dieser Form wird das offenbar nichts, die zu beweisenden Ungleichungen werden ja immer komplizierter statt einfacher.
Ich schlage dir deshalb folgenden Weg vor :
zu zeigen ist $ x-1 < (e-1)*ln(x) $ für [mm] x\in(1,e)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x-1}{e-1}
Nur zur Schreibvereinfachung kürzen wir jetzt den Bruch mit einem neuen Buchstaben ab. z war schon so oft dran, lass uns w nehmen : [mm] \bruch{x-1}{e-1}=w \gdw$x=w*(e-1)+1 [/mm] $ mit [mm] w\in(0,1)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] w<ln(x) [mm] \gdw e^w
Jetzt benutzen wir die Reihendarstellung der e-Funktion und der von [mm] e=e^1 [/mm] :
[mm] \gdw 1+w+\bruch{w^2}{2}+\bruch{w^3}{6}+...
Subtrahiere auf beiden Seiten 1 und dividiere durch w :
[mm] \gdw 1+\bruch{w}{2}+\bruch{w^2}{6}+...<1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}+...
[/mm]
Dies ist für [mm] w\in(0,1) [/mm] offenbar richtig.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Hey
danke das verstehe ich . nur wie kommst du auf w [mm] \in [/mm] (0,1)?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Übergang von x zu w ist doch eine lineare Transformation. Wegen [mm] x\in(1,e) [/mm] ergibt sich durch Einsetzen der Grenzen in die Transformationsvorschrift, dass [mm] w\in(0,1) [/mm] sein muss.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Nabend,
Die Frage interessiert mich auch und ich verstehe deine Transformation zu (0,1) noch immer nicht. Kannst du das bitte genauer erklären? Danke Dir!
LG, Björn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1<x<1
w=(x-1)(e-1) setze x=1 w=?
swtze x=e w=
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> 1<x<1
> w=(x-1)(e-1) setze x=1 w=?
0
> swtze x=e w=
0
> Gruß leduart
Verstehe ich aber noch immer nicht. Was ist MIT den Anderen Werten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
welche andren Werte? , die von x zwischen 1 und e die liegen bei w zw 0 und 1
aber wenn dus nicht verstehst kannst du ja ohne w mit x rechnen. eigentlich ist w doch nur ne Abkürzung für einen Bruch.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Danke Dir leduard!
LG
Björn
|
|
|
| |
|
Hey
kannst du mir vielleicht nochmal kurz erläutern wie du auf z=x-1 kommst?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Hey
> kannst du mir vielleicht nochmal kurz erläutern wie du
> auf z=x-1 kommst?
Es gilt:
[mm] e^x\ge1+x [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Spezieller gilt:
[mm] e^x>1+x [/mm] für alle [mm] x\in\IR_{\not=0}
[/mm]
Setze nun $x:=x-1$, dann gilt für alle [mm] x\in\IR_{\not=0}:
[/mm]
[mm] e^{x-1}>1+(x-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow e^{x-1}>x
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hey
ich verstehe was du machst. Allerdings verstehe ich nicht wie man auf die Idee kommt x:=x-1 zu setzten?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 27.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Mit der Substitution "sieht" man es schöner.
Es diente also nur zur Verdeutlichung.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir uns mal die Ungl.
$ [mm] \frac{log n}{n} [/mm] $ < $ [mm] a_{n} [/mm] $ -1
her. Anders geschrieben lautet sie
[mm] log(a_n)
Da [mm] a_n [/mm] > 1 ist, folgt die Ungl. aus
(*) log(x) < x-1 für alle x>1.
Im Folgenden ist log= ln.
Setzen wir für x [mm] \ge [/mm] 1:
f(x)=x-1-log(x).
Wenn wir zeigen können, dass f auf (1, [mm] \infty) [/mm] streng wachsend ist, so sind wir fertig, denn für x>1 ist dann
f(x)>f(1)=0.
Und daraus folgt (*).
Nun sieht man aber rasch, dass f'(x)>0 für x1 ist.
FRED
|
|
|
|
